Sisteme dinamice vs. sisteme matematice
Un sistem dinamic real este orice obiect care se schimba in timp.
Un sistem dinamic matematic este o structura matematica abstracta care poate fi folosita pentru descrierea schimbarii sistemului real ca o evolutie printr-o serie de stari.(Ceea ce inseamna ca numai sistemele dinamice reale sufera schimbari; sistemele dinamice matematice sunt atemporale,entitati neschimbatoare ce pot fi totusi folosite ca modele ale schimbarii sistemelor reale.)
Daca evolutia sistemului real este determinista , adica, daca starea la oricare moment temporal viitor este determinata de starea prezenta , atunci structura matematica abstracta consta din trei elemente. Primul element este un set T care reprezinta timpul. Elementele lui T pot fi portiuni reale, rationale , integrale, sau non-negative ale structurii. In dependenta de alegerea lui T, timpul va fi reprezentat ca discret, continuu, sau dens. Al doilea element este un set nonvid M ce reprezinta toate starile posibile prin care poate evolua sistemul ; M este numit spatiul starilor (sau spatiul fazelor) sistemului. Al treilea element este un set de functii {gt} care ne spune starea sistemului la orice moment instantial t a lui T, daca ne este data starea initiala . De exemplu , daca starea initiala este elementul x a lui M, starea sistemului la momentul t este data prin gt(x), starea la timpul w>t este data prin gw(x), etc. Functiile din setul {gt} trebuie sa satisfaca doua conditii. Prima, functia g0 trebuie s-o ea fiecare stare pentru ea insasi, deorece starea de la momentul 0 cand starea initiala este x este in mod evident x insasi.
A doua, compozitia a oricaror doua functii gt si gw trebuie sa fie egala cu functia gt+w, deoarece evolutia pana la momentul t+w poate fi intotdeauna gandita ca doua evolutii succesive, prima pana la momentul t, si a doua pana la momentul w. O subclasa importanta a sistemelor dinamice matematice este aceea a sistemelor ce evolueaza in timp discret. Orice sistem de genul acesta este numit cascada. Mai precis, un sistem dinamic matematic
este o cascada numai in cazul in care T este egal cu intregi non-negativi(sau cu intregi).
Spre a obtine o cascada , putem porni de la orice set non-vid M si de la orice functie g:M-->M. Restrangem apoi pe T la un domeniu de intregi non-negativi, si definim tranzitiile satrilor {gt} dupa cum urmeaza : g0=functia identitate pe M si, pentru orice element x a lui M, gt+1(x)=g(gt(x)). In alte cuvinte, se genereaza o tranzitie de stare arbitrara gt(t>0) repetand de t ori functia g (notam g1=g).
Distinctia dintre sistemele dinamice reale si sistemele dinamice matematice este cruciala pentru intelegerea ca toate sistemele cognitive sunt sisteme dinamice. De exemplu, sa consideram obiectele concrete(corpuri cazatoare, sfere pe planuri inclinate, proiectile , etc.) pe care le-a studiat Galileo in mecanica. Aceste obiecte sunt exemple de sisteme dinamice reale. Sa consideram, atunci, legile Galileene ale pozitiei Y si ale vitezei V pentru corpurile cazatoare:
Y[y v](t)=y+vt+(1/2)ct2
V[y v](t)=v+ct,
unde y si v sunt, pozitia si viteza corpului cazator la momentul 0, iar c este conctanta gravitationala. Daca identificam starea corpului cazator cu valorile pozitiei si vitezei lui, este usor sa verificam ca aceste doua legi specifica un sistem dinamic matematic G=,
unde orice tranzitie gt este definita prin
gt(y v)=.
Relatia de instantiere
Relativ la sistemul Galilean exemplificat anterior putem spune ca in anumite limite de precizie , cele doua legi descriu modul in care se schimba pozitia si viteza unui corp cazator, cu timpul. Daca decidem sa descriem un aspect diferit al schimbarii unui sistem real , atunci vom avea nevoie de un sistem dinamic matematic diferit . De exemplu, sa presupunem ca vrem sa de modul in care se schimba masa unui sistem in timp.Atunci, intrucat putem considera nasa ca o constanta m, obtinem un sistem dinamic matematic diferit H=, unde fiecare tranzitie interstare ht este functia identitate pe spatiul starilor {m}, adica, ht(m)=m. Astfel putem pretinde ca sistemul dinamic matematic descrie in mod corect un aspect diferit al schimbarii unui corp cazator, schimbarea masei. Giunti considera ca un SDR instantiaza un sistem dinamic matematic SDM doar daca descrie corect un anumit aspect al schimbarii SDR. In general, un SDR va instantia multe SDM, fiecare dintre ultimele va reprezenta un aspect real diferit al schimbarii sistemului real.
