Probleme de baza ale teoriei erorilor de masurare

Probleme de baza ale teoriei erorilor de masurare

Scopul toriei erorilor de masurare

Daca o marime este supusa la mai multe observatii, marimile obtinute sunt diferite chiar daca masuratorile sunt executate in aceleasi conditii de catre acelasi operator si cu instrumente de mare precizie.

Cauza acestor nepotriviri de valori se datoreste erorilor care afecteaza intodeauna o masuratoare, facand ca valoarea adevarata a marimii masurate sa nu poata fi cunoscuta niciodata.

Practic, in conditiile in care valoarea adevarata nu poate fi obtinuta, se

determina o valoare apropiata intr-un grad mai mare sau mai mic in functie de scopul pentru care se executa masuratorile.

Gradul de apropiere a valorii determinate fata de cea adevarata

caracterizeaza decizia determinarii.

Ca urmare prelucrarea masuratorilor efectuate asupra unei marimi urmareste

obtinerea celei mai bune valori a acesteia si a diferentei maxime intre valoarea determinata si valoarea masurata.

1.2 Importanta teoriei erorilor de masurare

Baza de date necesara rezolvarii problemelor geodezice, fotogrametrice si topografice, o constituie informatiile care provin din observatiile efectuate asupra unor masuratori si care sunt unghiuri, distante si inaltimi. Calitatea informatiilor obtinute din masuratori este functie directa de volumul de observatiilor si precizia oferita de aparatele utilizate in efectuarea lor.

In consecinta se impune ca pornind de la scopul pentru care sunt efectuate

masuratorile sa se stabileasca valorile corespunzatoare ca marime si precizie, luand in considerare aspectul economic referitor la volumul observatiilor necesar si suficient.

Metodele de prelucrare trebuie sa fie actuale sa rezolve cu succes aceste

cerinte

1.3 Clasificarea erorilor

Erorile care actioneaza si afecteaza intotdeauna masuratorilor sunt complexe,

iar o analiza a lor impune individualizarea lor dupa anumite criterii si anume:

Erori dupa cauzele lor (instrumente personale si de mediu);

Erori dupa valoarea de referinta( valori reziduale);

Erori dupa marimea lor(tolerabile si netolerabile);

Erori dupa modul lor de actionare (sistematice si accidentale).

1.4 Clasificarea masuratorilor

Masuratorile ale caror erori constituie obiectul de studiu al disciplinei difera

dupa modul de prezentare si in raport cu conditiile in care sunt executate.

Astfel, dupa modul de prezentare, pot fi:

Masuratori directe;

Masuratori indirecte;

Masuratori directe cu conditii;

Masuratori indirecte cu observatii multiple;

Masuratori indirecte supuse la conditii.

Dupa conditiile in care sunt executate, pot fi:

Masuratori de aceeasi precizie;

Masuratori de precizii diferite.

1.5 Repartitia erorilor accidentale.

Admitem ca asupra unei marimi au fost efectuate observatii n observatii si

ca eroarea de marime s-a produs de ori.

Cu aceste elemente probabilitatea de a se produce eroarea se exprima

astfel:

Pentru o eroare de alta marime si cele n observatii vor exista aparitii, iar probabilitatea va fi:

Se constata ca probabilitatea depinde valoric de marimea erorii, deci este o functie de aceasta. In consecinta:

=

Formarea functiei din exprima legea de distributie a erorilor cunoscuta sub numele de distributia normala stabilita de Gauss.

Pentru determinarea functiei Gauss a facut ipoteza ca valorile unei serii de observatii se grupeaza in jurul valorii mediei aritmetice care, se demonstreaza ca, este cea mai apropiata de valoarea adevarata de valoarea marimii masurate, sau altfel spus, cea mai probabila valoare a acestei marimi.

Daca , o sunt observatii efectuate direct si au aceeasi precizie,

atunci valoarea probabila M este:

M=

fata de care, erorile reziduale sau aparente sunt:

v= o- M   i= 1,2, . .. .

Probabilitatiile prezentei fiecarei din aceste erori vor fi:

Probabilitatea P ca toate erorile sa se fi produs este conform teoriei probabilitatii compuse, produsul probabilitatilor, respectiv:

f f, . . f = p, p, . . . . p = P

Pentru ca erorile v sa fie mici si deci valoarea lui M sa fie cea mai buna (cea mai apropiata de valoarea adevarata probabila) se impune

P = maxim   

Extremul probabilitatii P se obtine pentru valorile care  anuleaza derivata ei sau derivata logaritmului in raport cu derivata V.

Aplicand logaritmi naturali obtinem

+ + . . . ..+

Sau:

= 0

Avem:

=0   

Expresia exista atunci cand:

= = . . . = = 2

Respectiv:

= ; = kd

Integrand avem:

= d

Si

In final avem:

Dar, probabilitatea de a se produce o eroare , conform egalitatii este egala cu nu zero cum exista in realitate. Ca urmare, in locul lui se introduce si obtinem:

Care reprezinta legea de distributie a erorilor accidentale.

Deci,functia de probabilitate este

=

Indicele de precizie al unei masuratori. Ponderea masuratorii.

Daca se reprezinta grafic functia se obtine curba de distributie cunoscuta si sub numele de clopotul lui Gauss (fig.1.1).

Graficul functiei a fost obtinut reprezentand pe axa absciselor erorile , iar pe axa ordonatelor probabilitatiile

Probabilitatea va fi infinita zimala daca suprafata masurata se imparte la suprafata cuprinsa intre curba si axa - (considereta egala cu unitatea).

Respectiv:

=

Integrand obtinem

=

Probabilitatea de a avea scara cuprinsa intre -si este 1, adica certitudinea, este

= 1

Printr-o schimbare de varibila:

=

Otinem:

=

Integrala lui Poisson este:

=

Cu care egalitatea , resulta:

si

- indicele de precizie 

Folosind relatia in se obtine:

Egalitatea este valabila si in cazul in care consideram erorile

adevarate , deci

Se ia in considerare modul de definire al probabilitatii si vom scrie

=

Sau:

Integrand intre -si + rezulta

in care este media patratelor erorilor , care poate fi scrisa sub forma:

si care prin definitie reprezinta eroarea medie patratica a unei singure masuratori.

Revenind la egalitatea , putem scrie:

Dupa derivare in raport cu , obtinem

Din egalitatiile si , putem scrie:

de unde:

Din egalitatea  se observa ca reprezinta indicele de precizie, invers proportional cu eroarea medie patratica a unei singure masuratori.

Practic, se noteaza = si:

=

Numarul este intotdeauna pozitiv si se numeste ponderea masuratorii

efectuate. 

Eroarea probabila, eroare limita, eroare relativa, toleranta

Eroarea probabila a unei singure masuratori este eroarea pentru care numarul erorilor mai mari este egal cu numarul erorilor mai mici ca ea.

Daca se ordoneaza un sir de observatii in succesiune crescatoare a valorilor erorilor accidentale, eroarea probabila se va gasi in mijlocul acestui sir si corespunde observatiei respective.

Astfel, daca asupra unei lungimi au fost efectuate 9 observatii cu valorile:

=38,245m =38,248m

=38,243m   =38,242m

=38,247m   =38,249m

=38,246m   =38,241m

=38,244m

Media lor aritimetica este M = 38,245m fata de care erorile vor fi

= -2 = -3

= +2 = +4

= +1 = -4

= -1

Se ordoneaza observatiile in succesiunea crescatoare a valorilor absolute a erorilor si obtinem

observatiile cu eroarea 0;

observatiile si cu eroarea de +1;

observatiile si cu eroarea de +2;

observatiile si cu eroarea de +3;

observatiile si cu eroarea de +4.

Se observa ca eroarea egala cu +2 reprezinta eroarea probabila.

Utilizand calculul probabilitatilor se poate stabili o legatura intre eroarea unei singure masuratori si eroarea probabila de forma:

=    

De asemenea, tot pe baza calculului probabilitatiilor se deduce ca probabilitatea ca eroare a unei singure masuratori sa nu depaseasca este de ceea ce inseamna 0 cazuri la o suta cazuri favorabile, adica practic nici un caz.

S-a convenit, sa se ia eroarea a carei valoare este drept eroare maxima sau eroare limita notata cu

Deci:

=

egalitate valabila cand numarul de masuratori nu depaseste 100, ceea ce practic este indeplinit.

Daca notam cu ecartul valorilor masuratorilor (diferenta intre doua observtii), rezulta ca va conduce la producerea a doua erori, la care probabilitatea va fi de 0,4, deci practic nici un caz favorabil dintr-o suta de masuratori.

O valoare maxima a acestui ecart (diferenta intre doua valori extreme) care reprezinta toleranta masuratorilor nu va depasi . Deci:

   

Practic se verifca daca:

(=)

Au fost folosite

eroarea medie patratica a unei singure masuratori;

eroarea probabila;

eroarea limita.

Acestea provin din masurarea unor marimi concrete si se exprima prin aceleasi unitati de masura ca si marimile respective.

Acolo unde precizia masuratorilor este functie de marimea care se masoara, cum este cazul masuratorilor de distante, erorile care caracterizeaza complet rezultatul masuratorii in ceea ce priveste gradul de precizie, sunt erorile relative.

Prin definitie eroarea relativa este:

=

sau

= %

Prezentarea rezultatului masuratorilor

Rezultatul masuratorilor efectuate asupra unei marimi se prezinta sub forma:

X=

in care :

X - este valoarea adevarata a marimii masurate;

- valoarea medie sau valoarea probabila;

- una din erorile definite () sau (eroarea medie patratica a valorii

Daca asupra unei marimi a fost efectuata o singura observatie, in relatia

- valoarea observatiei;

- eroarea observatiei (eroarea instrumentului in principal).

Semnificatia egalitatii consta in aceea ca valoarea adevarata a marimii masurate se afla intr-un interval de precizie dat de inegalitatile :

1.9 Consecintele formulei lui Gauss

Presupunem ca asupra unei marimi au fost efectuate mai multe observatii, carora le corespund erorile aparente respective.

Probabilitatea aparitiei simultan a acestor erori va fi

=

Sau

=

Probabilitatea va avea o valoare maxima atunci cand

minin

sau

minin

Egalitatea exprima principiul micilor patrate.

In baza acestui principiu se determina  valorile probabile a marimilor masurate indiferent de categoria de masuratori din care fac parte.