Grupuri finite si proprietatile lor . Grupuri ciclice si operatiile de inmultire din grupurile ciclice . Grupuri de simetrie si importanta lor in studiu proprietatilor structurale ale compusllor chimici .
Un grup este un set de elemente legate intre ele prin anumite operatii . Grupurile pot fi finite sau infinite dupa cum contin un numar limitat sau nelimitat de elemente . Operatia prin care sunt legate intre ele elementele din grupuri se numeste multiplicare sau combinare .Ea poate fi o operatie aritmetica sau algebrica .
Pentru ca o colectie de elemente sa constituie un grup , ea trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii :
produsul adoua elemente oarecare din grup si patratul fiecarui element trebuie sa fie un element din grup .
un element din grup , E , numit element identitate este comutabil cu oricare altul si il lasa neschimbat simbolic , este definit prun relatiile :
E∙X = X∙E = X
multiplicarea este asociativa :
A∙(B∙C) = (A∙B)∙C
Aceasta proptritate este valabila pentru orice numar de elemente :
(A∙B)∙(C∙D)∙(E∙F) = A∙(B∙C)∙(D∙E)∙(F∙G)∙H = (A∙B)∙C∙(D∙E)∙(F∙G)∙H
fiecare element are un element reciproc care de asemenea apartine grupului .
TEOREMA
Elementul reciproc a doua sau mai multe elemente este egal cu produsul elementelor reciproce in ordine inversa :
(A∙B∙C∙ . . ..∙X∙Y )-1 = Y-1∙X-1∙ . . ..∙A-1
Multimea transformarilor de simetrie ale unui corp oarecare formeaza un grup .
Grupul ciclic
Un grup G generat de un singur element al sau se numeste grup ciclic .
Grupul se obtine prin compunerea succesiva a elementelor generator cu el insusi sau cu alte cuvinte , ca puteri succesive ale elementelor generator .
Grupurile ciclice sunt finite dar si infinite . In sudiul grupurilor ciclice este important sa se caracterizeze intru-un anumit fel numarul elementelor grupului .
Aceasta se face cu ajutorul ordinului grupului , care este numarul elementelor unui grup .
Ordinul unui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinuilui intregului grup .
Un grup ciclic de ordin h este definit , cand este definit un element X si puterile sale pana la Xh = E .
Grupurile ciclice sunt abeliene , adica toate multiplicarile sunt comutative :
Xn ∙Xm = Xm ∙Xn , pentru oricare m si n
Exemplu :
Trebuie sa aflam cate grupuri de ordinul 4 exista si sa dresam tablele lor de multiplicare .Evident exista un grup ciclic pentru care sa utilizam relatiile :
X =A ; X2 = B ; X3 = C ; X4 = E
Tabla sa de multipicare este :
G4 E A B C
E E A B C
A A B C E
B B C E A
C C E A B
In grupul G4 numai un element B este propriul sau invers .
Grupuri mici care se gasesc intru-un grup mai mare se numesc subgrupuri .
Acestea nu mai contin alte subgrupuri in afara de E .
TEOREMA
Ordinul unui subgrup , g , dintru-un grup de ordinul h , trebuie sa fie un divizor al ordinului h , adica h/g = k , unde k este un numar intreg .
Daca A si X sunt doua elemente dintr-un grup atunci X-1∙A ∙X = B , unde B este un element din grup .
Exprimam aceasta relatie spunand ca B este transformata de similitudine a lui A prin X sau ca A si B sunt elemente conjugate .
Mentionam cateva proprietati ale elementelor cojugate :
orice element este conjugat cu sine insusi . Aceasta inseamna ca dandu-se un element A se poate gasi cel putin un element X astfel ca :
A = X-1 ∙A ∙X
