Modelare si simulare

MODELARE SI SIMULARE

I

Un sistem este un ansamblu organizat de componente (subsisteme) interdependente, capabil sa raspunda, sub actiunea a diversi stimuli, unui anumit scop, cu anumite performante,.

Sistem de productie = ansamblul se posturi de lucru, masini - unelte, operatori umani, personal de intretinere.

Proces de productie = totalitatea fenomenelor (deplasari, transformari, asamblari, activitati umane etc) ce au loc in sistemul de productie in scopul obtinerii produselor finite.

Clasificarea sistemelor

deschise / inchise

liniare / neliniare

mari / complexe

deteministe / nedeterministe (stockastice, fuzzy)

discrete / continue

hibride

instruibile

Tipuri de modele

fizice

matematice ( studiul ului)

procedurale

Etapele realizarii unui model de simulare

stabilirea obiectivelor (definirea problemei);

colectionarea si analiza primara a datelor

formularea modelului de simulare;

estimarea variabilelor de intrare;

estimarea caracteristicilor operative;

descrierea algoritmului si scrierea programului;

validarea modelului;

planificarea experimentelor;

simularea;

analiza rezultatelor.

Stabilirea obiectivelor

- criterii - tehnico-economice

- experienta

incredere client

oportunitate

volum de munca

profit

stabilitate solutii

Formularea problemei

Un manager vrea sa aleaga acel al activitatii sale care va fi cel mai performant in atingerea scopului firmei sale.

In judecarea eficientei diferitelor decizii posibile, trebuie sa se foloseasca anumite criterii pentru masurarea performantei activitatii in discutie.

Este indicat sa se urmareasca etapele

stabilirea criteriului de eficienta

selectarea unei multími de alternative posibile

determinarea unui model care sa fie folosit si a valorilor parametrilor procesului

determinarea alternativei care optimizeaza criteriul de la pct. 1

Problemele lumii reale tind sa fie deosebit de complexe. In orice situatíe empirica exista nenumarati factori inerenti. Orice potential al actiunii initiaza un lant de cauza.

Mintea umana nu poate considera toate aspectele empirice ale problemei. Anumite atribute ale problemei trebuie ignorate ca sa se poata lua o decizie. Decidentul trebuie sa identifice factorii cei mai relevanti pentru problema.

Abstractizarea si simplificarea sunt factori necesari in rezolvarea oricarei probleme umane.

Stabilirea obiectivelor

obiectivul trebuie sa fie realizat

sa se constientizeze caracterul probabilistic

Construirea modelului

Dupa selectarea factorilor relevanti de catre decidenti, acestia sunt combinati in mod logic astfel incat sa formeze un model al problemei actuale.

Un model este o reprezentare simplificata a unei situatii empirice. Modelul reduce complexitatea si pastreaza comportarea esentiala a fenomenului natural, avand un numar redus de factori care sunt legati intre ei prin relatii simplificate.

Avantajele unui model simplu:

economie de timp si idei

poate fi inteles mai usor si repede de catre decident

Obiectivul decidentului nu este sa construiasca un model cat mai apropiat posibil de realitate, deoarece un astfel de model ar lua mult timp pentru concepere.

Dupa ce modelul a fost construit se pot obtine concluziile prin intermediul actiunilor logice. Decidentul isi bazeaza actiunile sau deciziile pe aceste concluzii.

Concepte de baza in modelare

Primul pas in construirea unui model este stabilirea factorilor si variabilelor pe care decidentul le considera importante. Factorii, variabile de decizie, variabile exogene, restrictii, masuri ale performantei, variabile intermediare.

Variabile de decizie acele variabile pe care le controleza decidentul reprezinta alegerile alternative pentru decident.

Variabile exogene sunt importante in problema de decizie, dar sunt controlate de factori externi sferei decidentului.

Restictiile legate de capacitatea de productie, resurse, limitari legislative, politica firmei, etc.

Masuri ale performantei expresii cantitative ale obiectivului, scopul ce trebuie atins in acea activitate.

Variabile intermediare necesare pentru includerea tuturor factorilor importanti in problema de decizie lega factorii de cost si de castig leaga variabilele de decizie si exogene de masuri ale performantei.

Exemplu

Problema de transport

Se considera ca exista n depozite, D_i, cu capacitati , , si m centre de consum, C_j, cu necesitati . Fie costul unitar de transport de la depozitul la centrul de consum

Sa se determine un plan de transport pentru un produs omogen astfel incat cheltuielile totale de transport sa fie minime si sa fie satisfacute toate cererile.

Modelarea problemei

Notam cu: - cantitatea transportata de la depozitul la centrul de consum

. . . . .
. . . . .

. . . . .

Ipoteza simplificatoare = relatie de echilibru, adica

a a

disponibilul = necesarul

oferta = cererea

Functia obiectiv este data de cheltuielile totale de transport, anume

Restrictiile problemei

, cantitatea care pleaca de la depozitul D_i nu poate depasi capacitatea depozitului,

, cantitatea transportata la centrul de consum C_j nu poate depasi necesarul acestui centru,

, cantitatea transportata de la un deposit la un centru de consum este nenegata.

S-a obtinut urmatorul model matematic

Acesta este un model liniar, determinist.

Colectionarea si analiza primara a datelor

familiarizarea executantului cu sistemul ce urmeaza a fi modelat,

identificarea variabilelor de stare si a parametrilor relevanti,

identificarea factorilor perturbatori, a criteriilor de periodicitate,

a nu se neglija informatiile obtinute pe parul stabilirii obiectivului.

Formularea modelului de simulare

Estimarea variabilelor de intrare

achizitia datelor,

prelucrarea statistica primara,

determinarea modurilor de variatie in timp.

Estimarea caracteristicilor operative

determinarea expresiilor matematice, relatiilor procedurale intre variabilele de intarare, parametrii si variabilele de iesire

expresia matematica se determina, in general, prin analiza de regresie.

Exemplu

Evolutia timpilor la proba olimpica de 200m barbati [1]

La proba olimpica de atletism de 200m atat la barbati cat si la femei timpii inregistrati au fost mai buni de la o editie la alta. Se pune problema

- daca exista o limita sub care nu se poate cobori

- daca timpii inregistrati la femei va fi mereu inferior celor inregistrati la baieti?

In [1] sunt inregistrati timpii la proba de 200m barbati incepand cu 1900, iar pentru femei incepand cu1948 si aceste date sunt in tabelele de mai jos.

Medaliatii cu aur la 200m barbati

Medaliatele cu aur la 200m femei

Datele acestea constituie ceea ce se numeste o serie de timp. Incepand din 1968 masuratorile s-au putut face la sutime de secunda. Daca 200m sunt alergati in 20 secunde, viteza atletului este de 10m/s si atunci in 0.01 secunde se parcurg 10 cm. La fotografie se poate vedea diferenta la sosire. Nu este realist sa credem ca ar putea sa fie observata distanta para intr-o miime de secunda.

Raspunsul la cele doua intrebari se poate da facand predictie asupra tendintei datelor. Daca folosim Excel si aproximam cu o dreapa datele observam ca dreptele se intersecteaza si dupa aceea timpii fetelor ar fi mai mic decat cel al barbatilor. Modelul linear nu este insa acceptabil pe o perioada mai mare de timp deoarece dupa un numar de ani, distanta ar fi para in 0 secunde! Atunci se cauta alte modele care sa reprezinte mai bine comportarea acestui fenomen.

Validarea modelului

A nu se confunda cu corectitudinea cu care transpunerea software descrie modelul original.

Validare prin simularea    - unor situatii anterioare

- unor situatii cu consecinte previzibile

Planificarea experimentelor

Modalitati de realizare a programului de simulare

intr-un mediu (limbaj) de programare,

prin transpunere in modele abstracte si utilizarea de software specializat,

cu utilizarea de software de simulare dedicat.

MODELARE SI SIMULARE

II

Prelucrarea statistica a datelor

Notiuni de statistica descriptiva

Populatia statistica este multime, grup, colectivitate, notata cu P.

Volumul populatiei se noteaza cu |P|, iar un element se numeste individ.

Caracteristica populatiei este o trasatura comuna pentru indivizii populatiei. Ea poate fi

cantitativa nume de variabila aleatoare,

calitativa atribut.

Statistica matematica este ramura matematicii aplicate care se ocupa cu studiul caracteristicilor populatiilor.

Colectarea informatiilor poate fi: exhaustiva sau prin esantionare. Esantionul trebuie sa fie reprezentativ, adica sa pastreze structura populatiei din care provine.

Tabelul statistic este o forma de prezentare a rezultatelor prelucrarii statistice prin care se caracterizeaza populatia. Tabelele pot fi

simple: cu populatie negrupata, sau

pe grupe, adica populatia este impartita in grupe dupa o singura caracteristica. Lungimea intervalului se poate calcula cu formula lui H. A. Sturges:

.

Combinate, adica populatia e despartita in grupe dupa doua sau mai multe caracteristici,

cu dubla intrare in care se reprezinta frecvente bidimensionale.

(ex: facultate si proc student)

Reprezentarea grafica a repartitiilor de frecventa

Histograma este o reprezentare grafica a datelor, astfel incat pe orizontala se reprezinta intervalul de valori, iar pe verticala frecventa valorilor.

Exemplu

Salariul orar pentru 115 muncitori (in euro):

= ; =

Poligonul frecventelor

Estimatie

Functia de repartitie empirica rezulta din date de masuratoare

Ex x

Fc(x) = 0 ,

= 1 ,

Teorema lui Glivenko (stabileste legatura intre functia de repartitie empirica si functia de repartitie teoretica)

Probabilitatea

Estimator pentru parametrul , o functie

Obs este o variabila aleatoare

Estimator consistent

Estimator corect: ;

Deplasarea =

nedeplasat

Estimator absolut corect ;

Inegalitatea lui Cebisev

dispersia empirica

media de selectie

interval care contine media teoretica (interval de incredere)

Prelucrarea datelor

Datele experimentale (provenite din masuratori) pot fi afectate de erori de tipul:

aberante - grosolane datorate unor erori grave facute de om sau defectiune de aparat

sistematice provin din punerea la o incorecta a unor componente ale aparatului cu care se fac masuratorile

aleatoare generate de natura aleatoare a fenomenului analizat

Inainte de efectuarea unor analize ale acestor date se fac anumite teste testul statistic este un criteriu de impartire a domeniului valorilor variabile in doua regiuni. Se accepta o ipoteza asupra v.a sau se respinge. Aceasta ipoteza se numeste ipoteza nula.

Domeniul in urma caruia-se respinge ipoteza nula se noteaza cu (domeniul critic)

-se accepta ipoteza nula se noteaza cu

Risc = de genul I resping ipoteza cand era adevarata

= de genu II accepta ipoteza cand era falsa

In general pentru

Etapele verificarii ipotezei statistice

Enuntarea ipotezei

Se specifica si

Se determina ce valoare a unei anumite statistici formeaza reg critica

Se calculeza val statisticii din selectie

Se accepta sau nu ipoteza dupa cum valoarea obtinuta din statistica (4) este in afara sau inauntrul reg critice

Identificarea valorilor afectate de erorile aberante si eliminarea lor

Testul Chauvenet Fiind date valorile, se considera ca valoarea este afectata de erori aberante daca verifica relatia:

media aritmetica a valorilor observate

= abaterea standard a valorilor observate

= din tabele

Daca in urma aplicarii testului una din valori este afectata de erori aberante, valoarea respectiva se elimina din esantion. Se recalculeaza si pentru valorile ramase si se reia criteriul.

Tema 1. Scrieti un program (C++) pentru testul Chauvenet. Datele de intrare se iau dintr-un fisier text.

Ex: In simularea unui system real se urmareste repartitia numarului de piese realizate de o masina intr-o zi. Pe parul a 6 saptamani se inregistreaza urmatoarele cantitati:

Sa se verifice daca acest esantion are valori aberante si daca exista, sa le eliminam.

MODELARE SI SIMULARE

III

Prelucrarea datelor experimentale

Datele sunt afectate de erori:

aberante (le depistam cu criteriul Chauvenet)

sistematice (testul Young)

aleatoare (daca datele sunt normale, variabila aleatoare normala--testul Massy

-n>50 -testul

Testul lui Young

Fiind dat un sir de date experimentale , se calculeaza

P1.

Marimea

P2. Se compara M cu valoarea critica (VCI) inferioara si valoarea critica superioara (VCS)

VCI<M<VCS

Se considera ca sirul de date experimentale are un caracter aleator (nu este afectat de erori sistematice) cu probabilitatea de a se verifica aceasta inegalitate. In tabele se dau valori pentru corespunzatoare diferitelor valori ale lui n

Daca n>25, se determina cu relatia

Valorile VCI si VCS pot fi luate din tabele sau calculate cu relatiile:

  

 

P3. Verificarea normalitatii unei multimi (serii) de date.

Formulam ipoteza ca datele din masuratori urmaresc repartitia Gaussiana. Putem aproxima aceste date folosind

histograma

cu diferenta dintre media teoretica a esantionului si mediana acestuia

n par (este nula)

  n impar

- reprezinta valoarea de pe pozitia p din ciclul de date ordonat crescator

utilizand diferenta dintre media teoretica a esantionului si modul (valoarea cea mai probabila din esantion) (nula)

coeficientul de boltire sa fie 3

Daca aceste criterii nu sunt suficiente, pentru verificarea normalitatii datelor din esantionul respectiv putem folosi testele Massy sau .

Testul Massay

P1. Calculeaza , i=1, n

P2. Calculeaza , i=1, n

, i=1, n

P3. Se calculeaza frecventele relative cumulate

(functie de repartitie empirica) nr. de valori

P4. Se determina valoarea , i=1, n

Se alege

P5. Se compara cu si se considera ca esantionul are repart normala (cu medii si ) daca <

Testul

P1. Se considera sirul , se ordoneaza crescator si se imparte in k clase; k=1+3,322ln n,

P2. Se comaseaza clasele extreme daca este cazul astfel incat fiecare clasa sa aiba macar cinci valori.

- nr de grade de libertate

nr claselor -1

P3. Se calculeaza pentru fiecare clasa

,

limita superioara a clasei i

P4. Se calculeaza ,

P5. Se calculeaza

nr. de valori din clasa i

P6. Se compara cu si se considera ca repart este normala daca <

unde:

; ;

;

Tema: Scrieti cate un program in C++ pentru fiecare test

MODELARE SI SIMULARE

III

Generari de variabile aleatoare

Variabile aleatoare uniforme

Def Variabila aleatoare v este uniform repartizata pe [a,b] (sau uniform rectangulara) daca are densitatea de repartitie

0 ,

Functia de repartitie

0, x<a

F(x)=

1, x>b

Propozitie Fie u ~>U(0,1) (variabila aleatoare u este uniform repartizata pe (0,1)). Atunci V=a+(b-a)u ~>U([a,b]) sau U(a,b)

Consecinta Prin transformarea liniara a unei variabile uniforme obtinem tot o variabila uniforma.

Variabila aleatoare uniforma discreta

Obs

Propozitie Daca V este uniforma (repart) pe (a,b) si

Caz multidimensional Daca este uniform repartizata pe [a,b]x[c,d] atunci densitatea de probabilitate o sa fie I

f(x)=

0,

Repartitiile marginale

Obs. indep. statistic atunci

(dens marginala)

(dens marginala)

Functia de repart pentru vect unif

0 ,

,

Urmatoarele doua leme demonstreaza importanta variabilelor aleatoare uniforme.

Lema Smirnov-Hinein

Fie x variabila aleatoare oarecare, avand functia de repartitie F(x) inversabila iar uU(0,1)

Atunci

Dem q.e.d.

Varianta Smirnov

Dem q.e.d. x

Lema

si definit prin , unde a,b,c,d R; d#1; b#a

(u,v)U(D), unde D este domeniul marginit dat de relatia

Atunci 1.

2. , unde f(x)definita mai sus

Dem. (u,v) U(D)

H(u,v)=

,

u=x

q.e.d.

Procedee de obtinere de numere uniforme

Tabele cu numere intamplatoaredau numere aleatoare pe un interval dat putand proveni de la recensaminte.

Procedee fizice (ex zgomotul electronic sau radioactiv receptat din cosmos)

Procedee aritmetice = generatoare permit prin relatii de recurenta pseudo sau cvasi nr. aleatoare

Cerinte ce trebuie verificate de un generator

sa fie simplu si rapid

sa produca siruri de numere oricat de lungi si fara repetitii (perioada sa fie foarte mare)

nr. de produse sa fie independente statistic dar dependenta sa fie foarte slaba

nr. generate sa fie cat mai aproape de repartitia uniforma

Exemple

A.  Metoda mijlocului patratului (middle squar method)

John von Neumann

- k cifre

- se iau 2k cifre din int

D.E.Knuth

B.  Metode congruentiale liniare

; notatia unui generator congr

C.  Metoda de amestecare a lui Marsaglia

Fie doi generatori de numere uniforme

Obtinem un al treilea generator prin amestecarea celor doua astfel: se da o lista produse cu ; generam un indice aleator i cu

; se considera cu

Ex L=

   

este perechea lui daca indep atunci

Generari de variabile aleatoare neuniforme

Metode generale

Metoda inversa - are la baza lema Smirnov- Hincin

; F inversabila

Algoritmul Inv

P0. Initializarea algoritmului pentru gen. unif. pe (0,1) si a algoritmului calc lui

P1. genereaza

P3. Calculeaza

STOP!

Ex variabila aleatoare exponentiala

daca

0 ,

Obs Daca

Algoritmul exponential

P0. Intrare

P1. Generare

P2.

STOP!

MODELARE SI SIMULARE

V

Generarea variabilelor aleatoare de tip GUMBEL cu metoda inversa

In statistica extremelor intervin variabile aleatoare ale caror functii de repartitie sunt:

pentru maxime;

variabila aleatoare de tip Gumbel (dublu exponentiala)

pentru maxime;

variabila aleatoare de tip Frechet

pentru minime;

variabila aleatoare de tip Weibvll

Cu schimbarea de variabila dublu exponentiala.

Pt. (1) :

sau

variabila aleatoare de tip Gumbel

Algoritm

P0. Intrarea

P1. Genereaza

P2. Retine

Pt. (2) Cu schimbarea de varabila in (2) dublu exponentiala

Pt. (3) cu schimbarea de variabila

(5')

dublu exponential

Metoda amestecarii (Mixture method)

Aceasta metoda se foloseste pentru variabile aleatoare de forma:

a)  caz discret sunt functii de repartitie

b)  caz continuu F(x)

Daca si atunci dem. de rep a lui x este

In termeni de fc de repartitie

Fie

Algoritmul de compunere discreta:

P0. Intrare

Initializarea alg:RND: care gen. v.a. cu rep

Pt. i=1,k calculam

P1. repeta

j=0;

genereaza

repeta

j=j+1

pana cand <U

Genereaza

x=z

pana cand cond oprire

P2. STOP!

Problema La o statie de benzina se prezinta n tipuri de autpturisme pentru aprovizionare, iar este intervalul de timp dintre doua sosiri consecutive de automobile de tip j. Aceste variabile aleatoare sunt considerate aa au repart . Persupunem ca este probabilitatea ca la un moment dat sa soseasca un automobil de tip j probabilitate cunoscuta. Fie x variabila aleatoare ce da timpul. Dintre doua sosiri consecutive de automobile in statie. Atunci x are fc de rep. rez. din amestecarea fc de rep

dupa vect de probab p

Generarea variabilelor aleatoare cu metoda amestecarii

Algoritm

P0. Initializarea alg RND si pentru generarea v.a.

P1. Repeta

gen

gen

pana cand cond oprire

P2. STOP!

Generarea variabilelor aleatoare PEARSON de tip XI

Variabila aleatoare de tip Pearson este un amestec de expon dupa expon

Pearson de tip XI

Algoritm

P0. Initializare PND; intrare

P1. repeta

Gen

Gen

pana cand cond oprire

P2. STOP!

Metode generale

metoda inversa

metoda compunerii (amestecarii)

metoda respingerii

Sistem de respingere

Fie x o v.a. pe care dorim sa o generam.

o familie de v.a. care pot fi generate cu calculatorul

N v.a. care ia valori in N

P proprietate ce poate fi verificata cu calculatorul

functie masurabila pentru astfel incat fiind date din S care satisfac proprietatea P are aceeasi functie de repartitie cu x (initial).

Sistemul formeaza un procedeu de respingere pentru v.a. x.

Algoritm general de respingere datorat lui John von Neumann

P0. Initializarea alg RND pentru generarea v.a. si pentru verificarea proprietatii P si calc .

P1. Repeta

repeta

gen n v.a. de tip N

pentru i 1,n gen

pana cand

pana cand cond oprire

P2. STOP!

Lema infaturatoarei este cea care da

si

Presupunem ca pentru , y poate fi generat cu calculatorul.

Atunci daca si independent de y dens de repart a lui y conditionata de este f(x) adica y este o realizare a lui x.

Procedeul de respingere dat de lema

N=2

Algoritmul dat de lema infasuratoarei

P0. Initializarea alg. RND,y; intrare

P1. Repeta

Repeta

Gen.

Gen.

Pana cand ; x=y

Pana cand cond oprire

P2. STOP!

Se poate arata pentru acest algoritm ca proprietatea de respingere a ciclului intern este

Aplicatie: gen v.a.

Propozitie: si atunci

Datorita simetriei fata de 0: ,

Aplicam Lema infasuratoarei

; (exp. standard)

Am determinat

P0. Intrare ; init RND

P1. Repeta

repeta

Gen.

Gen.

pana cand

x=y

cond oprire

P2. STOP!

Tema: Pentru lucrarea a II-a de programat alg folosind ca exemple pentru generarea de v.a. continue si discrete.

MODELARE SI SIMULARE

VI

Generare v.a. normale si inrudite

Generare v.a. normala prin metoda polara

Teorema Box si Muller

Daca independente atunci , unde

(obs.)

1

1

-1

Sunt v.a. N(0,1) ( independente)

POLARA

P0. Initializare RND n nr. de realizari

P1. executa

Genereaza ;

Genereaza ;

cat timp s<1

;

;

Genereaza ;

Genereaza ;

P2. STOP!

Generarea v.a.

Def , cu independente

Densitatea de probabilitate

Obs aproximeaza

Metoda de generare HIP

Conform definitiei generam v.a.

pentru

Generare v.a. t (de tip STUDENT)

Def v.a. Student cu ν grade de libertate este definita de relatia:

, unde si sunt independente

P0. Initializare RND ν si n=nr. de realizari ν

P1. i=1,n

Generam

Generam cu HIP

P2. STOP!

Generarea v.a. (SNEDECOR-FISHER) cu grade de libertate

Def

Densitatea de probabilitate:

FISHER

P0. Initializare RND ; intrare ,n=nr. de realizari

P1. pentru i=1,n executa

Genereaza cu HIP

Genereaza cu HIP

P2. STOP!

Generare v.a. lognormala

V.a. x este lognormala daca este v.a. normala

Dens. de repartitie este , unde varianta lui .

Pentru x: cu ,

Legatura intre

;

LOGNORM

P0. Initializare RND ; intrare ,n=nr. de realizari

Calculeaza

P1. pentru i=1,n

Gen

Calculeaza

P2. STOP!

LUCRAREA A II-A

Metode de generare

Inversa    exp

Gumbel

Compunerii discreta

Continua - PEARSON XI

Respingerii lema

Metoda infasuratoarei - normala

Metode particulare Metoda Box-Műller

Generare v.a. inrudite

Student

Fisher

Geometrica

Poisson

Generarea (unor) v.a. discrete

variabila geometrica

Proba Bernoulli - este o experienta in care sunt posibile numai doua rezultate

Success

esec ,unde p,qє[0,1

x= v.a. care reprezinta nr. de esecuri inregistrate pana la primul succes

atunci x este v.a geometrica

Ex: Daca v.a. poate caracteriza nr. de piese corespunzatoare gasite in urma controlului unei multimi de piese pana la aparitia primului rebut.

Functia de frecventa

(nr. de esecuri)

Functia de repartitie

, 0≤F(x)≤1

Generare v.a. geometrica

metoda inversa

υ=1-U si

o realizare a lui x v.a. geometrica

Algoritm

P0. Initializare RND ; intrare q;n=nr. de realizari

P1. pentru i=1,n

Gen

P2. STOP!

Generarea v.a. POISSON

Functia de frecventa

v.a. Poisson λ reprezinta nr. de evenimente rare (intrarile intr-un sistem de asteptare/unit de timp). Intervalul de timp dintre doua sosiri consecutive este o v.a. expon de λ.

τ= intervalul de timp Exp(λ) astfel incat sa acopere intervalul de timp=unitatea

Nr. j de astfel de intervale este o selectie de a v.a. Poisson

j satisface inegalitatea dubla    astfel il gasim pe j

sau

Poisson

P0. Initializare RND ; intrare n

P1. pentru i=1,n executa

j=i-1;

p=1

repeta

Gen

p=pU

j=j+1

pana cand

retine x=j;

P2. STOP!

Modelare, Simulare

VII

Ajustarea datelor

Dreapta de regresie

Fiind date intr-un sistem cartezian punctele Mi, i = 1,6 sa se gaseasca o dreapta care trece cel mai aproape de aceste puncte.

Rezolvare: y = ax + b y_i = ax_i + b a, b necunoscute

f(x) i = 1,6

n

S = ∑ [y_i - f(x_i)]² Dc min S ) = 0 => y_i = f (x_i)

i=1

min

∂S = 0

∂a a₀

=> b₀ => y=a₀x+b₀

∂S = 0

∂b

Functia de regresie

Este o expresie matematica dedusa in urma prelucrarii unor date experimentale ce aproximeaza dependentele dintre 2 sau mai multe variabile ale unui sistem det. Functia de regresie este necesar atunci cand dependentele dintre variabilelerespective nu pot fi stabilite suficient de precis pe cale teoretica.

Una dintre cele mai populare metode pentru determinarea functiei de regresie este metoda celor mai mici patrate.

Fiind data o multime de perechi de puncte (x_i, y_i) i = T,n se pune problema determinarii unei functii y=f(x), f numita functie de regresie, ale carei valori in punctele x_i sa aproximeze cat mai bine valoarea y_i. Drept criteriu de aproximare

n

vom lua suma patratelor corectiilor minS=min ∑ [y_i - f(x_i)]²

i=1

Daca determinarea expresiei f consta in determinarea unor coeficienti atunci trebuie rezolvat sistemul

∂S = 0 c_j j=1,m coeficienti necunoscuti ai functiei f

∂C_j

Particularizare: Dreapta de regresie y=f(x), f(x)=ax+b, c₁=a, c₂=b

n

min S= min ∑ (y_i - ax_i - b)²

i=1

Determinarea punctelor stationare:

∂S -2∑ x_i(y_i - ax_i - b) = 0

∂a i=1

=> n

∂S = 0 -2∑ (y_i - ax_i - b) = 0

∂b   i=1

n n n n n n

a ∑ x_i²+b ∑x_i = ∑ x _iy_i ∑ x_i² ∑ x_i a ∑ x _iy_i

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

=

n n n n

a ∑ x_i+nb = ∑ y_i ∑ x_i n b ∑ y_i

i=1 i=1 i=1 i=1

sistemul normal al lui Gauss

Alte forme pentru functia de regresie

1) f(x) = ax + b

2) f(x) = ax² + bx + c

3) f(x) = a + b

x

4) f(x) = ac^-x + b

5) f(x) = alogx + b

6) f(x) = a

1 + b

x

7) f(x) = 1

ac^-x + b

8) f(x) = ax^b

9) f(x) = ac^b/x

10)f(x) = ac^bx

s.a.m.d.

Ex. numeric def. Forma functiei de regresie

6

8

5

0 4

1 9

2 7

Polinomul de interpolare al lui Lagrange

f(x):

n

L(x) = ∑y_i Π x-x_i

i=1 j=1 x_i-x_j

j≠i

Calitatea aproximarii

deviatia standard (eroare standard) (s)

coeficientul de corelatie (r)

   unde (x_i, y_i), i= 1,m, m_c = numarul de coeficienti ai functiei de regresie; ex f(x) = ax + b, n_c=2

r=    unde s_t ∑ (y - y_i)² y = ∑y_i , Sr = ∑( y_i - f(x_i) ) ²

n

Semnificatia erorii standard este apropiata de cea a parametrului x² si caracterizeaza imprastierea experim in jurul graficului functiei de regresie si avand o valoare cat mai apropiata de zero atunci cand petele sunt mai aproape de origine.

Valoarea acestui coeficient reprezinta o masura mai exacta a calitatii functiei de regresie obtinuta in situatia in care abaterea standard a valorii experimentale este relativ mare. Functia de regresie face o buna aproximare cu cat coeficientul de corelatie este mai apropiat de 1.

Daca datele sunt luate dintr-un fisier text pentru separarea a doua valori se foloseste TAB-ul. Daca fisierul contine mai multe coloane trebuie sa specificam coloanele cu coordonatele punctelor, cele 2 coloane trebuie sa fie succesive iar x-ul trebuie sa fie prima coloana.

Cautarea functiei de regresie optime: putem cere efectuarea calculelor pentru toate cele 12 tipuri din program, putem sa analizam informatia si sa retinem pe cea care satisface cerintele. Putem defini un tip nou, fie ajustand noul existent.

Salvarea si exportarea sunt necesare pentru a pastra, respectiv pentru a exporta datele intr-un

Odata cu salvarea si exportarea se salveaza coeficientul de corelatie si alti coeficienti. Putem sa vedem forma

Putem stabili forma liniei graficului si culoarea acestuia. Le putem salva.

VIII

Metoda Monte Carlo

Proces (aleator)

Este o familie de v.a. _t, T R, T _timp D_c T = procesul se numeste lant

D_c T = I interval al lui R atunci procesul este cu timp continuu. Valorile var X_t se numesc stari ale procesului. S este multimes starilor.

Daca S este discreta rezulta proces cu stari discrete. Altfel, proces cu stari continue.

Traiectoria procesului este _{t T}

Un proces este cunoscut daca pentru orice n ≥ 0, t₁< t₂ < < t_n

F_t1tn(x₁ . x_n) - P(x_t1 < x₁, . x_tn < x_n)

Proces tare stationar daca pentru si t₁ < t₂ < t_n avem

F_t1+htn+h (x₁x_n) = F_t1+htn (x₁x_n)

Proces slab stationar (stationar) (x_t)_t momente de ord 2 si sunt finite.

m_t = M[x_t],

Obs. 1 Pentru un proces tare stationar F_t+h (x) = F_t(x)

X_t pot sa nu fie independente

2 Procesul tare stationar care are momente de ord 2 este si slab stationar; invers nu este adevarat

In simularea unui proces suntem interesati sa producem cu calculatorul puncte ale unei traiectorii finita.

Pb simularii unui proces revine la:

a) se da o valoare x₀ pp la mom t_o = 0 aflata pe traiectoria procesului

b) se cere generarea x₁ pe traiectorie pp ca valoarea t_o = 1

Legea numerelor mari

Fie X₁, X₁ X_n . si de v.a. independente 2 cate 2 cu dispersiile marginite de aceeasi constanta, Var[X_n]≤ C

At. Lim P(‌‌ x₁+.x_n - M[X₁]+ . .+ M[X_n ≤ ) = 1 sau

n n

P(‌‌ x₁+.x_n - M[X₁]+ . .+ M[X_n] ≤ ) ≥ 1 - c

n n n

Generalitati

Metode M_c = tehnici de rezolvare a diferitelor probleme utilizand numere aleatoare, var. Aleatoare sau procese

Def. Fie de rez. O pb. Numerica P care are solutia Ө. O metoda M_c pentru rezolvarea lui P consta in urmatoarele:

se asociaza in mod adecvat un proces ξ pb astfel incat cu ajutorul lui ξ sa il estimam pe Ө.

De exemplu: Ө = M[δ δ fiind o functie cunoscuta (data)

Trebuie determinat δ δ ξ) estimator al lui Ө, iar δ ξ) se numeste estimator primar.

se simuleaza o selectie ξ₁. ξ_n si se calculeaza δ_n estimator al lui δ, de exemplu media aritmetica, numit estimator secundar

se aproximeaza solutia lui P cu δ_n

Observatie: Daca estimatorul primar δ ξ) este nedeplasat, M[δ ξ)] = Ө, atunci estimatorul secundar satisface lg numerelor mari δ_n

De cele mai multe ori estimatorul primar se alege sa fie nedeplasat.

Sa presupunem ca = Var [δ(ξ)] < ∞. Dorim sa aproximam Ө cu o eroare acceptata data E P ( δ_{n -} ן < E) = p = 1 -

Din lg numerelor mari putem determina pe n astfel incat pentru E si suficient de mici inegalitatea sa fie satisfacuta.

Volumul n al solutiei ξ₁. ξ_n necesar pentru a estima pe Ө prin δ_n cu eroarea E data si cu riscul acceptat este dat de relatia n ≥ n₀, n₀ = [ ] +1

Tipuri de probleme ce se pot rezolva cu metoda Monte Carlo

- calculul integralelor

- rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

- rezolvarea sistemelor de ecuatii integrale

- rezolvarea problemelor Dirichlet pentru ecuatii de tip eliptic

Rezolvarea problemelor de optimizare cu restrictii, etc

Calculul integralelor

Sa se calculeze ∫¹₀ f(x) d_x =

Daca ∫^b_a g(t) d_t; x= t-a => dt = (b-a) dx t-a = (b-a)x

b-a t=a+(b-a)x

∫¹₀ g(a+(b-a)x(b-a)dx = (b-a) ∫¹₀ g(a+(b-a)xdx = (b-a) ∫¹₀ f(x) d_x

Metoda Monte Carlo bruta

Daca U → U(0,1) => Ө= M [f(U)] = ∫¹₀ f(u)d_u

Alegem δ = f(U) - estimator primar nedeplasat pentru Ө.

Daca U₁, U_n → U(0,1) => Ө = 1 ∑ f(U_i) metoda bazata pe aceasta relatie se

n

numeste metoda Monte Carlo bruta.

Exemplu: ∫¹₀ e dx f(x) = e^-x/2

Alg pentru calculul int. simple

P0 f(x); n = valoarea esantionului

D = 0;

P1 Pt i = 1,n exec

Gen U → U(0,1)

S = s+f(u)

P2 s=s/n

Ex. 2 Integrala dubla

∫ ∫ x² dxdy D =

y²

I = ∫ ∫ f(x,y)dxdy mess(D) ∫ ∫ 1/mess f(x,y)dxdy = mess (D) M [f]

M[f] = 1 ∑ f(x_i, y_i) (x_i, y_i) → U (D)

n

Alg pentru calculul integralei duble cu metoda Monte Carlo bruta

P0 mess(D); init≠ializare s=0, k=0

P1 pentru i = T, n

Gen u → u(1,2)

Gen V → v(0.5,2)

Daca (u,v) D atunci k=k+1

D=D+f(u,v)

P2 I = D * mess(D)

K

X

RETELE PETRI

Generalitati

Retelele Petri reprezinta o categorie speciala de grafuri.

Graf. x≠0 multimea nodurilor

U=XxX; U = arce

X = n numarul nodurilor

U = m num[rul arcelor

Daca (x,y) U (x,y) ≠ (y,x) atunci graf orientat

X se numeste origine, y se numeste varf

Graful este complet daca se cunosc

Diferenta dintre un graf si o retea P consta ca multimea nodurilor e formata din 2 submultimi distincte.

X = T U P, T ∩ P

P multimea locurilor O

P multimea tranzitiilor □

Arcele in Retelele Pietri sunt unidirectionale. Un arc nu poate lega decat o tranzitie de un loc sau un loc de o tranzitie.

La o tranzitie sau la un loc se poate ajunge cu mai multe arce. Dintr-o tranzitie pot pleca mai multe . Un loc si o tranzitie pot fi legate prin cel mult un arc.

Reteaua Pietri este cunoscuta prin 3 multimi: P, T, U (multimea arcelor)

T_j → P_i (T_j, P_i)

Tranz loc de

de intrare  iesire

P_j   → T_i (P_j, T_i)

Loc de tranzitie

Intrare de iesire

Evaluare

Prin evaluare se intelege o aplicatie prin care se atribuie fiecarui arc cate un numar natural.

Daca un arc leaga P_i → T_j) atunci evaluarea arcului o not a(P_i, T_j) T_j → P_i : a(T_j, P_i)

Daca a(P_i, T_j) =1 nu se mai noteaza pe graf.

Matricea de incidenta contine evaluarile arcelor

M_ij

Elementele de pe linia i cd j reprezinta valoarea arcului care leaga locul Pi de tranzitia Tj daca tranzitia Tj este de intrare in nodul Pi; daca tranz Tj este de iesire din Pi atunci elementul are aceeasi valoare a evaluarii arcului dar cu semn schimbat. Daca intre Pi si Tj nu exista arc, atunci elementul mat = 0.

Ex. (-1   -1 2)

1 0 -1

0 2 -1

Marcajul unei retele Petri

Este o aplicatie care asociaza fiecarui loc din retea un numar intreg reprezentat in interiorul locului prin tot atatea puncte numite jetoane. Nu orice retea Petri trebuie sa aiba marcaje, cele care au se numesc retele Petri marcate.

Notam cu M marcajul M_(2,1,0) marcaj initial in ex., m(P1), m(P3)

Tranzitie activabila (executabila, senzitivabila)

Pentru un marcaj m oricare Pi loc de intrare in tranzitia Tj marcajul lui Pi≥ a(P_i, T_j)

In exemplul anterior T1 este activabila deoarece numarul de jetoane din P1 este mai mare decat T2.

T3 nu este activabila deoarece a(T3,P3)=1 iar m(P3)=0

Activarea consta in modificarea marcajelor locurilor de intrare si iesire din tranzitia respectiva.

Evolutia retelei P este def. de depl. Jetoanelor plecand din starea initiala, jetoanele trec de la un loc la altul prin executia tranzitiei.

Reguli de evolutie

1) o tranzitie este executabila atunci cand fiecare loc de dinaintea ei are un numar de jetoane cel putin egal cu ponderea arcului respectiv

2)Reteaua Petri nu poate evolua decat in exec. Unei singure tranzitii la un moment dat.

3)executia unei tranzitii se considera instantanee si consta din:

Se scot tot atatea jetoane din locul de dinainte cite arata ponderea arcului si se depun atatea jetoane in locul in care urmeaza tranzitia cat sa nu depaseasca ponderea arcului care o leaga.

Se activeaza tranzitia T2

M0=(2,1,0) M0=(2,1,0) M0=(2,1,0)

M₁^v=(1,1,2)  M₁^vv=(1,2,0) M₁^vvv=(4,0,0)

Tipuri de retele Petri

1. Retele Petri cu prioritati. O astfel de retea se utilizeaza cand se doreste o alegere intre mai multe tranzitii validate. Trebuie prec. O relatie intre tranzitii ce pot fi activate in ac. Timp.

2. Retele Petri neautonome . Sunt extensii ale celor definite pana acum care permit descrierea nu numai a ceea ce se intampla cat si cand se intampla.

3. Retele Petri sincronizate La o retea autonoma spunem ca o tranzitie poate fi exec. Daca este validata dar nu se stie cand va fi exec., pentru retelele Petri sincronizate fiecarei tranzitii i se asociaza un eveniment si executia se face de tranzitie este validata si evenimentul asociat se poate produce.

4. Retele Petri temporizate Permit descrierea unui sistem a carui functie depinde de timp. De exemplu se poate scurge un timp intre inceperea unei operatii si sfarsitul acesteia.

5. Retele Petri . La 4 durata asoc. Unui loc este fixa. Exista fenomene care nu pot fi modelate cu durate constante.

6. Retele Petri continue Marcajul unui loc este un numar real, acest model permite modelarea cu

Retele Petri temporizate

Ataseaza durata de activare pentru o tranzitie. Activarea tranzitiei intr-o Retea Petri temporizata se face in 3 etape:

a)tranzitia este initiata prin extragerea numarului corespunzator de jetoane din locurile sale de intrare;

b)este activata pe o perioada de timp, jetoanele fiind inghetate pe durata de activare;

c)tranzitia este incheiata prin plasarea de jetoane in locurile de iesire ale tranzitiei

Tranzitii=operatii; locuri=timpi de sejur.

La activ. T2 un jeton este mutat din P1 in lucru la momentul t=0, jetonul este inghetat in T2 3 unitati de timp, dupa care trece in locul 3.

O tranzitie activabila nu poate fi activata decat daca este inactiva. Pentru a fi cunoscuta pe deplin starea unei retele Petri temporizate trebuie sa stim marcajul, starea tranzitiei active sau inactive si timpii reziduali (ram. Pana la incheierea tranzitiei active).

IX

Retele Petri. Prezentare generala VisualSimNet

RP graf orientat cu noduri - locuri (pozitii) P

- tranzitii T

Arcele orientate leaga - o pozitie cu o tranzitie

-o tranzitie cu o pozitie

Pe arce sunt ponderi W sau evaluari

Marcaj (Stare) atribuie un numar de jetoane (token)

N N (n≥0) unei pozitii ; (M (P1),., M(Pm) ) m-numar pozitii

n-numar tranzitii

RP=(P,T,F,W,M0)

P - multimea pozitiilor (locurilor)

T - multimea tranzitiilor

F - multimea arcelor (P,T) sau (T,P)

W - ponderile arcelor

M0 - marcaj initial

Observatie P∩T = Ǿ PUT ≠ Ǿ;

RP cu capacitate infinita = nu are restrictii asupra numarului de jetoane pentru niciun loc.

Conditii-pozitii

Evenimente-tranzitii

Retele Petri cu probabilitati si prioritati

In retelele Petri doua sau mai multe tranzitii modeleaza evenimente dintre care unul si numai unul se produce la un moment dat. Se considera ca probabilitatea de aparitie ale acestui eveniment sunt egale (situatie de conflict); pentru a evita o astfel de situatie se utilizeaza o retea Petri cu prioritati.

Arcele inhibatoare?? Ext. capacitatea de modelare a retelei Petri in sensul ca un arc inhibator conecteaza o pozitie la o tranzactie sI are rolul de a inversa logica de validare sI executare a tranzitiei. Tranzitia respectiva este validata numai daca numarul de jetoane din pozitia de intrare este mai mica decat ponderea arcului.

Programul VisualSimNet

Este destinat proceselor statistice modelate cu retele Petri

a)definirea unui loc

p<nume loc> <capacitate> <tip asteptare> [x<x poz> y<y poz>]

unde: nume loc → P1,. → shing

capacitate

tip asteptare FIFO LIFO Random

x poz, y poz coordonate grafice

b(definirea unui marcaj

m<culoare> <numar> [<culoare> <numar> ]

^jetoane

c(definirea tranzitiei

t<nume> <distributie> [<prioritate>[<probabilitate>] ]

repartitia

timpului de venire

d)definirea unui prearc

v<nume loc> <distributie> <culoare> [<tip arc>]

e(definirea unui postarc

z<nume loc> <distributie> <culoare> [<tipare>]

f)definire cadran cu text

(text/comentarii/eticheta)

C<linii>[<marime caractere>[<tip chenar>[grosime linie>]]] [x<x poz> y<y poz]

g)definirea distributiei timpului de servire

distributie veche/ distributie noua/ distributie timp de servire

tip p1 p2 tip(p1[p2]) tip p1, p2, p3, p4

h)definirea perioadei de timp

s<perioada de timp>

Comentariu → orice linie care nu incepe cu una din literele rezervate sau cu cifrele de la 0 la 9

Separatori → spatiu, (),

Ex. p loc1 20 f

m 1 3

p loc2 10 f

m 1 5

t tranz1 g(5,10)

v loc1 k(1) 0 1

z loc2 k(1) 0 1

t tranz2 g(5,10)

v loc2 k(1) 0 1

z loc1 k(1) 0 1

Problema filozofilor

Th param p1 = 30 p2 = 60

Eat 5 10

Locatii random

Hungry: cap2, FIFO, marking2

Full: capac2, FIFO, free1, marking1

Fork: capac2, FIFO, marking2

Seria de timp sau seria dinamica sau seria cronologica reprezinta o secventa ordonata in timp de observatii efectuate asupra unei variante. Faptul ca observatiile se succed in sirul de date in ordinea aparitiei lor, ne determina sa spunem ordonata in timp.

Cand masurarea valorilor seriei este posibila la fiecare moment de timp spunem ca seria de timp este continua. De exemplu: temperatura, presiunea aerului, tensiunea, intensitatea curentului electric, etc.

Cand observatiile sunt facute asupra variabilei la intervale egale de timp (de exemplu: secunde, minute, ore, zile, luni, etc) seria de timp se numeste discreta.

Daca seria de timp continua este transformata intr-una disctrta prin masurarea valorilor seriei la intervale egale de timp, atunci seria obtinuta se numeste serie de timp esantionata.

Seria de timp in care variabila nu poate fi masurata continuu la fiecare moment de timp, insa este posibila masurarea valorilor cumulate ale acestei variabile dupa anumite intervale de timp egale se numeste serie de timp cumulata sau serie de timp integrata (de exemplu cantitatea de precipitatii masurata zilnic la o statie meteo).

O serie de timp este stationara daca aceasta nu contine tendinte in valoarea medie, nu prezinta modificari ale dispersiei datelor si paternuri sezoniere.

Analiza vizuala a seriilor de timp

Datele se pot reprezenta grafic, pe axa orizontala fiind timpul, iar pe axa verticala valorile masurate ale variabilei de interes. Aceasta reprezentare permite evidentierea unui comportament - patern - al varaibilei.

Se pot intalni urmatoarele situatii:

Datele oscileaza in jurul valorii medii constante

Datele prezinta o pronunsata tendinta crescatoare in medie

Datele prezinta un patern sezonier, suprapus peste unul orizontal

Datele prezinta un patern sezonier, suprapus peste unul crescator in medie

Datele prezinta un patern sezonier, suprapus peste unul crescator in medie si amplitudinea paternului sezonier creste o data cu timpul

Metodologia Box - Jenkins trateaza seriile de timp stationare, insa o serie de timp nestationara poate in general sa fie transformata intr-una stationara.

Obiectivul principal al metodologiei Box - Jenkins este de a determina o reprezentare pe cat posibil corecta a mecanismului de generare a procesului care a produs setul de date, adica a modelului.

Metodologia de modelare Box - Jenkins

Reprezinta una dintre metodele cele mai utilizate si precise de modelare si predictie pe termen scurt a seriilor de timp. Metodologia consta in urmatoarele etape:

1. Etapa de identificare - se alege un model ARIMA drept candidat pentru modelarea seriei de timp. Pentru masurarea interdependentei statistice dintre datele observate se utilizeaza functia de autocorelatie estimata si functia de autocorelatie partiala estimata.

2. Etapa de estimare - se estimeaza parametrii modelului ales in etapa I. Daca estimatorii pentru coeficientii modelului ales in etapa I nu satisfac conditii care sa conduca la stationaritate si inversabilitate, modelul va fi respins.

3. Etapa de validare - diagnoza - se verifica daca modelul ales este cel adecvat sau nu.

4. Daca nu se reia etapa I cu alegerea unui alt model ARIMA si se continua procedura, altfel se utilizeaza modelul in predictie, simulare, conducere, etc.

Stationaritatea si inversabilitatea unui proces liniar

Stationarea rezulta din conditia ca seria Ψ (B) sa fie convergenta pentru B ≤ 1

Spectrul procesului. Inlocuind in relatia care da functia de autocovarianta B cu e^-i2πf se obtine jumatate din spectrul total de putere al procesului, acesta fiind:

p(f) = 2σ_a²Ψ(e^-i2πf)Ψ e^-i2πf) = 2σ_a² e^-i2πf) ² 0≤f≤1

2

Inversabilitatea procesului liniar π(B)z_t=a_t este asigurata daca ponderile π_j asigura convergenta seriei π(B) pentru B in interiorul si pe conturul discului de raza 1.

Un proces autoregresiv de ordin p, notat AR(p), iar ponderile π_i au fost notate cu Φ_i, i = 1, ., p.

Au aplicatii practice procesele AR(1),

z_t = Φ₁z_t-1+a_t

si AR(2),

z_t = Φ₁z_t-1+ Φ₂z_t-2a_t

proces numit proces de medie alunecatoare de ordin q, notat MA(q). Aplicatii practice au in general modelele MA(1)

z_t = a_t - Ө₁a_t-1

si MA(2)

z_t = a_t - Ө₁a_t-1 - Ө₂a_t-2

Procesul ARMA(p,q) poate fi privit ca:

AR(p) Φ(B)z_t = e_t cu proces MA(q), e_t = Ө(B) a_t si

MA(q) z_t = Ө(B) b_t cu proces AR(p), Φ(B)b_t = a_t

ARIMA(p,d,q) unde: p este ordinul de regresie, d ordinul de diferentiere si q ordinul de medie alunecatoare.

Un astfel de proces se reprezinta prin

Φ(B)^dz_t = Ө(B)a_t, unde = 1-B

Notand w_t = ^dz_t Φ(B) w_{t =} Ө(B)a_t, ceea ce revine la a observa ca modelul de mai sus corespunde ipotezei ca diferentele de ordin d ale seriei pot fi reprezentate printr-un proces ARMA inversabil, stationar.

Exprimand z_t in functie de w_t obtinem z_t = S^d w_t, unde S este operatorul de insumare infinita, definit de relatia urmatoare:

t

Sx_t= _h= (1+B+B²+)x_t = (1-B)^-1x_t = ^-1 x_t

h=-∞

Relatia z_{t =} S^d w_t arata ca procesul initial poate fi obtinut prin integrarea procesului stationar Φ(B) w_t= Ө(B)a_t de d ori.

De aici denumirea de proces autoregresiv integrat si de medie alunecatoare.

Seria deviatiilor procesului original fata de media μ_z constituie modelul liniar general al seriei si are forma

∞

z_t = z_t - μ_z = a_t + Ψ₁ a_t-1 + a_t-2 +. = a_t + Ψ_t a_t-j

j=1

unde a_t , a_t-1 dunt variabile aleatoare independente si identic repartizate normale de medie 0 si dispersie σ_a².

Bibliografie

1. Vaduva, I., Simularea proceselor economice,
2. Trandafir, R. Modele si algoritmi de optimizare, Editura AGIR, 2004.
3. Edwards, D. , Hamson, M. Guide to Mathematical Modelling Industrial Press, Inc. New York, 2007.