Determinarea solutiilor optime cu functii criteriu in limbaj intrare-stare-iesire, cu timp final impus

Determinarea solutiilor optime cu functii criteriu in limbaj intrare-stare-iesire, cu timp final impus

1. Determinarea solutiei optime in conformitate cu functia criteriu

Se poate arata [14] ca in cazul cand se foloseste pentru sistemul (4.10) functia criteriu din (2.8), cu timp final impus, comanda optimala - de tipul (4.17) - are expresia

, (1)

matricea a parametrilor optimi ai regulatorului avand elemente care sunt functii de timp, spre deosebire de matricea din (4.17), ale carei elemente sunt constante.

Matricea are o expresie analoaga cu (4.45), respectiv

(2)

dar P(t) nu mai are elemente constante, ci are elemente cu functii de timp, intrucat P(t) reprezinta solutia ecuatiei matriceale diferentiale Riccati

(3)

- unde - cu conditia finala [14]:

(4)

Solutia optima (2) pentru parametrii regulatorului nu mai este deci o solutie stationara - ca in (4.45) - si ca urmare ofera un program de variatie in timp a parametrilor respectivi, realizarea acestui program asigurand minimizarea criteriului

Rezolvarea ecuatiei (3) este prezentata in [14].

Daca , atunci criteriul tinde catre criteriul - avand in vedere si (4.15) - si elementele matricei P(t) devin constante, deci

si ecuatia diferentiala (3) devine ecuatia algebrica (4.43)

2. Determinarea unei solutii suboptimale prin intermediu criteriului

In [15] este folosita metoda gradientului conjugat pentru obtinerea unei solutii suboptimale in cazul unui bloc F descris de ecuatii de stare de forma

(5)

si al adoptarii criteriului din (2.9).

Solutia este suboptimala - sau aproximativ optimala - deoarece in cazul cautarii valorilor optime ale unor parametrii ai regulatorului conduce la valori constante ale acestor parametrii si nu la valori variabile in timp dupa un anumit program, cum a rezultat in paragraful anterior.

Solutia suboptimala poate fi cautata in spatiul unor functii continue sau in spatiul unor parametri; in primul caz apare dificultatea ca spatiul nu este complet, in timp ce in al doilea caz rezulta un spatiu Hilbert (m fiind numarul parametrilor regulatorului), care este complet.

Metoda poate fi aplicata si pentru regulatoare instalate pe calea directa.

In continuare, utilizarea metodei gradientului conjugat pentru minimizarea unor criterii de tipul este ilustrata prin intermediul algoritmului si a doua exemple din [15] (fara a prezenta demonstratiile care fundamenteaza etapele de calcul), in primul caz cautarea fiind efectuata in spatiul U al unor functii continue, iar in al doilea caz in spatiul Hilbert al parametrilor regulatorului.

1. Algoritmul utilizat

Metoda gradientului conjugat (expusa in paragraful 1.4.4) realizeaza cautarea minimului unei functii criteriu F(x) - x luand valori intr-un anumit spatiu X , deci X prin intermediul urmatorului algoritm:

a) Se alege o valoare initiala

b) Se adopta ca directie initiala de cautare

(6)

unde este gradientul functiei criteriu F in punctul ; daca se noteaza (pentru prescurtarea scrierii relatiilor)

(7)

atunci relatia (6) capata forma

(8)

c) Se determina valoarea urmatoare a secventei de cautare prin relatia generala

(9)

- identica cu (1.106) - relatie care pentru i = 0 devine

; (10)

in (10) valorile si sunt cunoscute de la punctele a) si b) , iar pentru se adopta valoarea care minimizeaza expresia

(11)

In general, valoarea se determina din conditia minimizarii expresiei

(12)

minimizare efectuata in raport cu variabila scalara pozitiva , deci efectuata de-a lungul unei drepte (vezi paragraful 1.4.5).

d) Se calculeaza gradientul in punctul (deci, pentru i = 0, se calculeaza gradientul in punctul

e) Se stabileste noua directie de cautare , din punctul , conform relatiei

(13)

cu

(14)

(15)

relatie identica cu (1.161).

Pentru i = 0, expresia (15) devine

(16)

valorile si fiind cunoscute de la punctele b) si d).

f) Se continua cu determinarea noului punct al secventei de cautare prin intermediul relatiei (10) si (16), iar fiind determinat ca la punctul c).

g) Se calculeaza etc.

h) Secventa de cautare se incheie atunci cand nu mai poate fi gasita o valoare care sa asigure conditia

(17)

deci cand minimul a fost atins, fapt indicat si de anularea gradientului in punctul de minim

In cazul aplicarii algoritmului descris pentru minimizarea functiei criteriu din (2.9)

rezultand deci , functionala F fiind criteriul - apar doua probleme, datorita specificului criteriului : prima problema se refera la evaloarea valorilor functiei criteriu , iar a doua se refera la determinarea gradientului functiei criteriu.

Intrucat apar aspecte intrucatva diferite in cazul cautarii minimului in spatiul U al unor functii continue si in spatiul al parametrilor regulatorului, in continuare problemele mentionate sunt prezentate separat pentru fiecare din cele doua cazuri.

2. Cautarea minimului in spatiul unor functii continue

In acest caz blocul BF (fig. 4) este descris de ecuatiile de stare

x = f(x, (18)

si se cauta comanda optima care sa asigure o anumita variatie datorita pentru marimea de iesire y, criteriul adoptat fiind

Intrucat comanda reprezinta o functie continua de timp (in cazul instalatiilor tehnologice multivariabile, u este o marime vectoriala ale carei componente sunt functii continuale de timp), expresia optima - care minimizeaza criteriul - este cautata in spatiul U al unor functii continue.

Folosind notatia

se poate arata [15] ca functionala F() este un operator compus. Astfel, dupa cum se vede in figura 5, functia f din (18) realizeaza o prima transformare a marimilor (din spatiul U) in marimile (din spatiul Hilbert , n fiind dimensiunea vectorului de stare x); prin integrarea ecuatiilor de stare (18) intre si - limitele de integrare la - cu conditia initiala.

(19)

(reprezentand un vector cu componete constante) se obtine in pentru fiecare comanda din U un anumit vector , reprezentand starea finara corespunzatoare comenzii respective u.

Fiecarei stari finale din - aferente unei anumite comenzi din U - ii va corespunde - prin intermediul unei functionale (fig. 5) - o anumita valoare in a criteriului ; rezulta astfel ca prin compunerea celor doua transformari f (din U in ) si din ( in ) se obtine de fapt transformarea (din U in

* De remarcat ca in (18) x reprezinta starea, iar comanda din spatiul U corespunde marimii X din cadrul algoritmului de la punctul 1 al prezentului paragraf.

Din figura 5 se constata astfel ca are loc relatia

(20)

Pentru obtinerea gradientului - al functionalei , corespunzator unei anumite comenzi - in [15] se recomanda metodologie (pentru scalar, este tot scalar):

a) Se integreaza, pentru o anumita comanda ecuatia (18), de la la - cu conditia initiala (19) - si se determina variatia starii x in intervalul [], precum si starea finala x( corespunzatoare comenzii respective

b) din (18) se calculeaza derivatele partiale

, i,j = 1, 2, .. , n   (21 a)

, i = 1, 2, .. , n (21 b)

unde este componenta i a functiei vectoriale din (5).

c) Se formeaza sistemul adjunct de ecuatii

(22)

unde este o variabila vectoriala;

- matricea ale carei elemente sunt din (21 a).

d) Se evalueaza valoarea la momentul final prin intermediul relatiei

(23)

unde a fost obtinut de la punctul a), iar

(24)

reprezinta gradientul functiei din (20).

e) Avand din (23) se integreaza sistemul adjunct (22) inapoi in timp de la la , rezultand evolutia variabilei vectoriale in intervalul

f) Se obtine gradientul cautat - pentru functia de comanda considerata la punctul a) - prin intermediul relatiei

(25)

unde este functia vectoriala ale carei componente sunt din (21 b).

Gradientul obtinut poate fi utilizat in cadrul cautarii optimalului prin algoritmul expus la punctul 1.

Integrarea ecuatiilor (18) si (22) se efectueaza cu calculator numeric prin intermediul matricei de tranzitie [15, 16, 17].

Optimizarea realizata pe aceasta cale este o optimizare in circuit deschis, intrucat comanda optimala este obtinuta numai prin calcul, fara a depinde de variatia unor marimi masurate (cum este cazul optimizarii in circuit inchis, cand comanda optimala se obtine direct prin intermediul unor marimi masurate - cum sunt variabilele de stare - si transmise regulatorului functie de stare).

Totodata, optimizarea respectiva este o optimizare care poate fi transpusa in practica numai prin interventia operatorului uman ("off-line") - deci nu este o optimizare realizata prin fluxul semnalelor transmise de echipamentele de automatizare ("on-line") - deoarece comanda optimala va trebui realizata in practica prin interventia operatorului, dupa incheierea determinarii pe calculator a acestei comenzi.

La punctul 4 este prezentat un exemplu de optimizare de acest tip, cu cautarea minimului in spatiul unor functii continue, fiind ilustarte determinarea functiei φ si obtinerea gradientului

3. Cautarea minimului in spatiul parametrilor regulatorului

In acest caz se presupune ca se realizeaza o reglare functie de stare - instaland regulatorul pe reactii in jurul blocului F, ca in figura 3 - si pentru un anumit semnal de referinta , aplicat la intrarea sistemului functionand in circuit inchis, se cauta acele valori (ale parametrilor regulatorului ) care minimizeaza un criteriu de forma si deci optimizeaza functionarea sistemului de reglare automata.

In practica se considera cazul unui semnal treapta , intrucat optimizarea comportarii la semnale treapta asigura o buna comportare si la alte tipuri de semnale.

Ecuatiile de stare pot fi puse in acest caz sub forma

(26)

- unde

(27)

- functia vectoriala fiind explicita in raport cu parametri si neteda in raport cu x si K; vectorul parametrilor K ar putea fi notat si prin u.

Intrucat un parametru al regulatorului, de exemplu , poate fi considerat ca o functie de comanda care are o valoare constanta, cele mai multe din considerentele de la punctul 2 raman valabile pentru determinarea gradientului functionalei, necesar aplicarii metodei gradientului conjugat.

Deosebirea care apare fata de metodologia de la punctul 2 - si care se datoreste faptului ca de data aceasta minimul este cautat in spatiul Hilbert al parametrilor regulatorului, in loc de a fi cautat in spatiul unor functii continue - consta in faptul ca in locul relatiei (25) pentru obtinerea gradientului se foloseste expresia

(28)

unde este o matrice n × m, ale carei elemente sunt definite de relatiile

(29)

(cu ), iar reprezinta solutia sistemului adjunct (22).

Optimizarea realizata pe aceasta cale este o optimizare in circuit inchis, intrucat sistemul de reglare functie de stare functioneaza in bucla inchisa. Totodata, optimizarea respectiva este de tipul "off-line", intrucat valorile optimie ale parametrilor regulatorului - formand vectorul - sunt determinate pe calculator si apoi fixate practic prin interfventia operatorului uman.

La punctul 5 este prezentat un exemplu de optimizare cu cautarea minimului in spatiul parametrilor regulatorului.

4. Exemplu de cautare a minimului in spatiul unor functii continue

Pentru ilustrare este considerat motorul de curent continuu din [15], comandat prin circuitul de excitatie (fig. 6), si alimentat cu un curent i in circuitul indusului de la o sursa independenta.

Motorul este caracterizata de rezistenta si inductivitatea in circuitul de excitatie, de la momentul de inertie echivalent J si de coeficientul de frecari vascoase D; la bornele circuitului de excitatie se aplica tensiunea de comanda u, prin circuitul respectiv circuland curentul

Notand cu θ pozitia unghiulara a arborelui (reprezentand marimea de iesire y a motorului) cu viteza unghiulara si cu acceleratia unghiulara, ecuatiile motorului - in ipoteza liniarizarii in jurul unui punct de functionare - au aspectul

(30)

(31)

	unde este un factor de proportionalitate. Prima ecuatie exprima echilibrul dintre cuplul motor si cuplurile de acceleratiesi de frecari vascoase, iar a doua ecuatie rezulta din aplicarea teoremei lui Kirchhoff pentru circuitul de excitatie.

Alegand variabilele de stare

(32)

(33)

(34)

din (30) . (34) se obtin ecuatiile de stare

(35)

(36)

(37)

Introducand valori numerice (corespunzatoare parametrilor unui motor de 5 CP) pentru D, J, in [15] se obtin ecuatiile de stare sub forma

(38)

(39)

(40)

deci sub forma cunoscuta

Folosind amplificatoare operationale integratoare, sumatoare si multiplicatoare cu o constanta, ecuatiile (38) . (40) conduc la schema echivalenta a motorului din figura 7, care poate fi simulata pe calculator analogic.

Optimizarea isi propune sa gaseasca acea comanda care sa asigure o variatie cat mai apropiata de o treapta - de la 0 la 10 radiani - a pozitiei unghiulare In acest scop se alege un criteriu de forma cu

(41)

secunde, (42)

si

(43)

considerand ca in momentul initial motorul se gaseste in repaus.

Intrucat si u sunt marimi scalare, primul termen al criteriului din (2.9) capata forma

(44)

adoptand factorul de ponderare .

Intrucat

radiani

se obtine pentru (44) expresia

(45)

Avand in vedere (32) . (34) si faptul ca in noul regim stationar motorul trebuie sa se gaseasca in repaus (cu si ) si cu o pozitie unghiulara radiani, rezulta ca valorile dorite pentru variabilele de stare la intrarea in noul regim stationar sunt.

radiani

(46)

Adoptand matricea de ponderare S - din (2.9) - diagonala, respectiv

(47)

termenul al doilea din (2.9) va avea expresia

si introducand valorile din (46) se obtine

(48)

Avand in vedere notatia (de la punctul 2), din (45) si (48) rezulta expresia

(49)

care se poate scrie si sub forma

(50)

Tinand cont de forma criteriului din (50) , sistemul ecuatiilor de stare (38) . (40) se extinde cu ecuatia suplimentara

(51)

variabila fiind definita astfel incat sa satisfaca (51) si conditia initiala

(52)

Avand in vedere (51) , functia criteriu (50) capata forma

(53)

dar, conform cu (20), aceasta este expresia functiei care asigura transformarea din figura

Intrucat comanda u este inclusa in variabila , conform cu (51) , se poate scrie

(54)

Sistemul (38) . (40) , extins cu (51) , determina aspectul ecuatiilor (18) sub forma

(55)

cu conditia initiala

(56)

avand in vedere (43) si (52) .

Aplicand (21) si (22) la sistemul (55) se obtin expresiile:

(57)

(58)

Introducand (57) in (22) se obtine ecuatia sistemului adjunct

(59)

Din (54) se obtine

(60)

avand in vedere (24).

Introducand (58) in (25) rezulta

(61)

Conform celor mentionate la punctul 2, a, se integreaza sistemul (55) pentru o anumita functie de comanda u si se determina evolutia starii x de la la ; introducand in (60) valoarea x( se obtine

(62)

conform cu (23).

Valoarea din (62) reprezinta conditia terminala pentru integrarea de la la a sistemului adjunct (59) , ceea ce permite obtinerea evolutiei si deci a gradientului prin intermediul relatiei (61) .

In [15] calculele mentionate au fost efectuate cu in (49) , adoptand pentru prima iteratie functia de comanda . Dupa 10 iteratii s-a obtinut o valoare suficient de redusa a normei gradientului, procesul de cautare a minimului functiei criteriu fiind considerat incheiat.

Aspectul comenzii optime , obtinut dupa 10 iteratii, este reprezentat in figura 8, iar variatia corespunzatoare a pozitiei unghiulare θ a arborelui (reprezentand marimea de iesire) - ca raspuns la comanda din figura 8 - este reprezentata in figura 9; din aceasta se constata ca trecerea marimii de la 0 la 10 radiani aproximeaza destul de bine o variatie treapta.

Exemplu de cautare a minimului in spatiul parametrilor regulatorului

Pentru motorul din exemplul de la punctul 4 se realizeaza o reglare functie de stare, folosind blocurile cu factorii de proportionalitate (reprezentand parametrii regulatorului) care inmultesc marimile de stare (fig. 10).

variabilele de stare fiind acelasi ca in (32)   . (34) ; se constata ca expresiile (49) si (63) sunt analoage, in locul valorii de 10 radiani intervenind valoarea , care reprezinta valoarea dorita pentru marimea de iesire

Ca urmare, ecuatiile de stare extinse sunt analoage cu (55) , insa fata de cazul din exemplul anterior, de la punctul 4, intervine relatia

(64)

care corespunde functionarii sumatorului de la intrarea sistemului.

Pentru o variatie treapta a marimii de referinta - de la 0 la valoarea stationara constanta - se cauta valorile optime care asigura minimizarea functiei criteriu

(63)

Ecuatiile (55) si (64) formeaza sistemul (26), cu

(65)

Folosind metodologia de la punctul 3 in [15] au fost adoptate pentru (63) valorile R = 0.001, s, si valorile pentru prima iteratie , rezultand dupa 22 iteratii parametrii optimi

si raspunsul y al sistemului de reglare (la variatia treapta a marimii de referinta de la 0 la 10 radiani) din figura 11, considerandu-se un suprareglaj de circa 11.3 %.     Prin asigurarea unei saturatii care liminteaza comanda in gama   , se obtine o reducere sensibila a suprareglajului [15]. Aceasta limitare determina un caracter neliniar al sistemului.