Metoda potentialelor de/la noduri

Metoda potentialelor de/la noduri

In cazul metodei potentialelor de noduri se opereaza cu (N-1) variabile, mai putine fata de cele utilizate in cazul metodei curentilor de ochiuri, respectiv, al metodei teoremelor lui Kirchhoff:

(N-1) < 0 < L

Noile variabile sunt potentialele nodurilor independente sau diferentele de potential dintre fiecare nod al retelei si un nod (al N-lea), ales arbitrar ca referinta (potential de referinta), considerat in mod obisnuit ca fiind  legat la pamant (V_N = 0).

Fie latura de circuit din figura 4.4.19, apartinand nodurilor (b) si (c) si nodul N al retelei, cu rol de referinta. Conform primei teoreme a lui Kirchhoff se poate scrie pentru nodul (b):

Ecuatia de functionare a laturii k este:

unde semnele arata ca poate fi utilizata fie conventia de la receptoare, fie cea de la generatoare (evident - cu conditia ca latura sa fie rec. sau gen.).

Din relatia de mai sus curentul rezulta sub forma:

Se noteaza cu curentul de scurtcircuit al laturii k, avand semnul (+) cand iese dintr-un nod al laturii (nodul b) si cu (-) cand intra (nodul c), si avand acelasi sens prin latura k; in caz contrar semnele de mai sus se inverseaza. Ca urmare:

Inlocuind pe in ecuatia corespunzatoare primei teoreme a lui Kirchhoff, se poate scrie:

de unde:

Tensiunea , la bornele laturii k, este data de diferenta de preferential dintre cele doua noduri, b si c:

relatie ce poate fi folosita ca o schimbare de variabila, astfel incat sistemul sa se reduca la () necunoscute, care sunt potentialele nodurilor independente.

Este necesar insa ca schimbarea de variabila sa fie compatibila cu sistemul de ecuatii al teoremelor lui Kirchhoff.

Astfel, se constata ca cele O ecuatii date de teorema a II-a sunt identic satisfacute de relatia , deoarece fiecare potential de nod intra in aceasta relatie de doua ori: intai cu (+), cand latura iese din nod si apoi cu (-), cand latura intra in nod. Ca atare:

Rezulta ca cele () variabile cautate (potentialele de noduri) vor fi univoc determinate de cele () ecuatii ramase, date de teorema I.

In aceste conditii, sistemul de ecuatii (4.4.56) devine:

luand, de exemplu, ecuatia laturii dupa conventia de la receptoare.

Ordonand dupa potentialele nodurilor, relatia (4.4.57) se mai poate scrie sub forma:

unde:

este conductanta proprie a nodului b, egala cu suma aritmetica a conductantelor laturilor concurente in nodul b;

este conductanta de cuplaj,dintre nodurile b si c, egala cu suma, luata cu semn schimbat, o conductantelor laturilor care leaga nemijlocit (direct) cele doua noduri, b si c.

Daca cele doua noduri nu sunt unite nemijlocit, atunci ;

este curentul de scurtcircuit injectat in nodul b, format din suma algebrica a curentilor de scurtcircuit ai laturilor active, , legate la nodul b, luata cu semnul schimbat; in aceasta relatie .

Dezvoltat, sistemul (4.4.58) se scrie sub forma:

Algoritmul de aplicare a  metodei este urmatorul:

Se aleg nodurile independente () si nodul de referinta, N, pentru care se scriu ecuatiile potentialelor de noduri.

Se calculeaza conductantele laturilor ().

Se calculeaza conductantele proprii si de cuplaj si curentii de scurtcircuit injectati in noduri ().

Se scrie sistemul de ecuatii al potentialelor si se rezolva in raport cu acestea.

Se calculeaza tensiunile la bornele laturilor:

Se calculeaza curentii din laturi, pornind de la ecuatiile laturilor. De exemplu, in cazul utilizarii conventiei de la receptoare se poate scrie:

sau:

unde este, cum s-a aratat, curentul de scurtcircuit al laturii k.

Se face verificarea rezultatelor, de exemplu, cu ajutorul teoremei bilantului puterilor.

Nota

Curentul de scurtcircuit al unei laturi (active), , nu trebuie confundat cu cel de scurtcircuit al unui nod al retelei, la care este conectata latura respectiva:, acesta din urma fiind constituit, asa cum s-a aratat, din suma algebrica a curentilor de scurtcircuit ai laturilor active, legate la nodul (b), luata cu semn schimbat.

Aplicatie

Se da reteaua liniara de c.c. din figura (4.4.20), pentru care se cunosc:

Sa se calculeze curentii cu ajutorul metodei potentialelor de noduri si sa se verifice rezultatele.

Rezolvare

Se alege arbitrar nodul (4) ca referinta (V₄ = 0), respectiv se considera acesta legat la pamant.

Se calculeaza conductantele proprii si de cuplaj ale laturilor si curentii de scurtcircuit din nodurile retelei:

Curentii de scurtcircuit injectati in noduri sunt:

Se scrie sistemul de ecuatii in potentiale si se rezolva:

Inlocuind valorile conductantelor si curentilor se obtine:

de unde:

Se calculeaza curentii din laturi:

Curentul va avea sensul opus celui ales arbitrar (initial), respectiv sensul sagetii punctate.

Curentul va avea, de asemenea, sens opus celui ales initial, motiv pentru care i se va schimba sensul pe schema electrica (sageata punctata). Se vede ca in acest caz curentul nu va mai avea acelasi sens cu , deci sursa se incarca, respectiv absoarbe energie din retea.

Verificare:

Se vede ca: .

Nota

La calculul lui termenul se scade, deoarece sursa , asa cum s-a aratat, absoarbe energie de la retea in loc sa-i cedeze energie acesteia (are semnul opus lui )