Regresia si corelatia statistica in cercetarea de marketing

Regresia si corelatia statistica in cercetarea de marketing

Cercetarea cantitativa de piata ofera o gama mare de metode pentru studiul dependentei dintre doua sau mai multe variabile. Aceste metode studiaza dependenta dintre o variabila rezultativa, notat cu si una sau mai multe variabile factoriale, notate in general cu .De exemplu, volumul vanzarilor unui produs   intr-o perioada data este influentat de nivelul cheltuielilor publicitare , atunci exprimarea dependentei vanzarilor de cheltuielile publicitare printr-o relatie de forma: . Daca avem in vedere si alte variabile in studiul volumului vanzarilor cum ar fi: pretul si venitul mediu al consumatorilor acest fapt ar putea fi exprimat in limbaj matematic printr-o relatie de forma:

,in care este o functie de trei variabile.

Daca s-ar putea identifica functia atunci s-ar putea prezice volumul vanzarilor in anumite conditii in ipoteza in care ar fi cunoscute cheltuielile publicitare, pretul si venitul mediu al consumatorilor. Aceste legaturi pot fi puse in evidenta numai daca exista un mare numar de cazuri individuale (legea numerelor mari). In acest fel, legaturile dintre variabile apar ca legaturi statistice sau stohastice. O categorie aparte de metode sunt cele parametrice sau de analiza a legaturii dintre variabile. Metoda regresiei constituie o metoda statistica de cercetare a legaturii dintre variabile cu ajutorul unor functii matematice, denumite functii de regresie. Prin functie de regresie se intelege o expresie matematica, dedusa in urma prelucrarii unor date experimentale, ce aproximeaza (estimeaza) dependentele dintre doua sau mai multe variabile ale unui sistem sau proces. Determinarea unei functii de regresie este necesara atunci cand dependentele dintre variabilele respective nu pot fi stabilite suficient de precis pe cale teoretica. Estimarea unui model matematic al tendintei legaturii dintre presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

Dupa numarul factorilor de influenta ai caracteristicii rezultative exista:

- regresia unifactoriala sau simpla;

- regresia multifactoriala sau multipla.

Regresia unifactoriala are in vedere cuantificarea relatiilor de dependenta sub forma unor modele unifactoriale, verificarea ipotezelor si fundamentarea calculelor de prognoza.

Modelele unifactoriale descriu legatura dintre doua variabile si , ceilalti factori considerandu-se cu actiune constanta. Ecuatia teoretica a acestei regresii este de forma : , unde reprezinta actiunea altor factori (perturbatia), iar numarul observatiilor. Estimarea parametrilor acestui model se realizeaza cu ajutorul metodei celor mai mici patrate (MCMMP), care presupune minimizarea sumei patratelor abaterilor valorilor empirice () de la valorile estimate (): .

In practica cercetarii de piata cele mai utilizate modele sunt:

• modelul liniar: ;
• modelul exponential: ;
• modelul putere: ;
• modelul parabolic: ;
• modelul hiperbolic: ;
• modelul logistic:

Calculul si interpretarea parametrilor modelului liniar. In modelele liniare unifactoriale, variabila rezultativa depinde de un singur factor prin relatia :, unde reprezinta actiunea altor factori decat factorul analizat (perturbatia), iar numarul observatiilor.

Estimarea parametrilor acestui model se poate realiza tot cu ajutorul metodei celor mai mici patrate (MCMMP), care presupune minimizarea sumei patratelor abaterilor valorilor empirice () de la valorile estimate (): , unde si sunt estimatorii parametrilor modelului liniar.Minimizarea sumei presupune determinarea punctelor stationare care rezulta din rezolvarea sistemului obtinut prin anularea derivatelor partiale ale functiei: se ajunge la urmatorul sistem de ecuatii:

,iar dupa efectuarea calculelor se obtin urmatoarele relatii de determinare a estimatorilor:

  .

In acelasi mod se procedeaza si in cazul altor modele decat cel liniar. Inainte de-a testa semnificatia estimatorilor si respectiv pentru a valida modelul, este necesar ca in cazul in care se considera ca tendinta legaturii poate fi estimata cu mai multe modele, sa se aleaga acel model care indeplineste conditia de minim si anume: .

Un intreprinzator doreste sa cumpere un spatiu comercial de aproximativ 30 de mp intr-o zona comerciala. In acest sens, doreste sa afle estimativ cifra de afaceri pe care o poate obtine in aceasta situatie. Studiile realizate in zona comerciala arata ca cifra de afaceri a magazinelor cu profilul respectiv depinde de suprafata comerciala. Informatiile referitoare la acesti indicatori, inregistrate la 10 magazine avand acelasi profil:

Intre aceste doua variabile exista o relatie cauzala, in sensul ca cifra de afaceri anuala poate deveni o functie a suprafetei comerciale. Deci, cifra de afaceri anuala reprezinta variabila dependenta 'y', iar suprafata comerciala reprezinta variabila independenta 'x'.

Principala metoda simpla de identificare a legaturii dintre variabile este metoda grafica.    Verificarea semnificatiei economice dintre cele doua variabile se realizeaza prin corelograma construita in sistemul de axe ortogonale unde pe abscisa se reprezinta suprafata comerciala, iar pe ordonata cifra de afaceri anuala. Din graficul nr.1 se poate observa ca punctele sunt concentrate pe principala bisectoare, identificand o legatura directa intre cele doua variabile.

Evolutia legaturii dintre suprafata comerciala  si cifra de afaceri anuala

Pentru exprimarea tendintei generale a legaturii dintre cele doua variabile vom utiliza urmatoarele modele  ipotetice, sugerate de reprezentarea grafica:

modelul liniar: ;

modelul exponential:

Pentru estimarea parametrilor modelelor ipotetice propuse se utilizeaza MCMMP, obtinandu-se pentru fiecare model in parte sistemul de ecuatii aferent:

modelul liniar: ;

modelul exponential: .

Pe baza datelor din tabelul *.2. valoarea parametrilor este:

modelul liniar: ;

modelul exponential: ;

Valorile ajustate ale cifrei de faceri in functie de suprafata comerciala

Modelul care indeplineste criteriul de minim al MCMMP este modelul liniar conform tabelului nr.2 (totalul coloanelor 3 si 4). In cazul in care intreprinzatorul doreste sa cumpere un magazin cu suprafata de 30 mp, cifra de afaceri anuala estimata este de:

mii euro

Coeficientul "" poate lua atat valori pozitive  cat si valori negative si reprezinta ordonata la origine, respectiv, este valoarea lui "" cand "".

mii euro.

Coeficientul "" este cunoscut sub denumirea de coeficient de regresie. Acesta arata cu cat se modifica in medie variabila rezultativa atunci cand variabila factoriala se modifica cu o unitate. In functie de semnul coeficientului de regresie se poate aprecia tipul de legatura:

• legatura dintre variabile este una directa;
• intre cele doua variabile nu exista legatura;
• legatura dintre variabile este una inversa.

legatura dintre cele doua variabile este una directa. De asemenea, la o crestere a suprafetei cu 1 mp, cifra de afaceri crestere in medie cu 5.948 mii euro.

In cazul fenomenelor de piata, o variabila rezultativa se defineste in functie de mai multe variabile factoriale ceea ce implica utilizarea regresiei multifactoriale:

unde reprezinta actiunea altor factori (perturbatia), iar numarul observatiilor. Daca legatura dintre fiecare factor si variabila rezultativa este liniara, atunci functia de regresie devine: ,in care:

1. - parametrul care concentreaza influenta factorilor neinregistrati, considerati cu actiune constanta;
2. - variabilele factoriale incluse in raportul de cercetare;
3. -coeficientii de regresie, care arata cu cat se modifica variabila rezultativa atunci cand variabila factoriala  se modifica cu o unitate.

Estimarea parametrilor acestui model se poate realiza cu ajutorul metodei celor mai mici patrate (MCMMP), care presupune minimizarea sumei patratelor abaterilor valorilor empirice () de la valorile estimate ():

,

unde sunt estimatorii parametrilor modelului liniar.

Minimizarea sumei presupune determinarea punctelor stationare care rezulta din rezolvarea sistemului obtinut prin anularea derivatelor partiale ale functiei:

Pe baza datelor empirice se construieste urmatorul sistem de ecuatii:

Pe baza elementelor teoretice prezentate, trebuie sa ne pronuntam asupra semnificatiei statistice a parametrilor de regresie, precum si asupra validitatii modelului adoptat. In continuare, vom nota cu si , mediile variabilelor , respectiv .Verificarea semnificatiei estimatorilor consta in a accepta sau a respinge una dintre ipotezele: 

Testul adecvat acestui scop este testul "t", care presupune determinarea lui pentru fiecare dintre parametrii , .

Tabel nr. 4

Aceste valori (coloana 2 din tabel) se compara cu valorile teoretice ale repartitiei Student , corespunzatoare unui prag de semnificatie si numarului gradelor de libertate , fiind numarul variabilelor exogene.

Pe aceasta baza, regula de decizie a testului este urmatoarea:

Stiind ca estimatorii sunt repartizati normal, putem estima intervalul de  incredere al parametrilor:

Daca coeficientii de regresie ai modelelor estimate apartin unor intervale de incredere care contin si valoarea 0, se renunta la model

Dupa verificarea semnificatiei parametrilor, urmeaza etapa de validare a modelului specificat din punct de vedere statistic. In acest sens, se utilizeaza testul Snedecor-Fisher.

Aplicarea acestui test presupune calculul indicatorilor prezentati sintetic in continuare:

Tabel nr. 5

Pe baza datelor din tabel se pot testa urmatoarele ipoteze:

Raportul dintre si reprezinta valoarea calculata "F" (coloana 4 din tabel), care se compara cu cea tabelata  corespunzatoare nivelului de semnificatie si numarului gradelor de libertate , .

Sunt posibile situatiile urmatoare: