Calculul ecuatiilor matriciale

Calculul ecuatiilor matriciale


Fie A, BMm× m ( C), A = a11 a12 a 13 . . a1m , B= b11 b 12 b13 . . b1m
a21 a22 a 23 . . a2m b21 b 22 b23 . . b2m
a31 a32 a 33 . . a3m b31 b 32 b33 . . b3m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 a m3 . . ..amm bm1b m2 bm3 . ..bmm

astfel incat A sa fie ne singulara ( deci sa existeA-1). Sa consideram ecua-tiile matriceale :
AX=B, YA=B
inmultind prima ecuatie la stanga cu A-1 si pe a doua la dreapta cu A-1, se obtine:
A-1(AX)= A-1B, (YA) A-1= BA-1
folosind asociativitatea matricilor se obtine:
(A-1A)X= A-1B, Y(A A-1)= BA-1
dar (A-1A)=Im si folosind proprietatea matricii identice,se va obtine:
X= A-1B, Y= BA-1
iar prin calculul A-1B si B A-1 se va obtine X, Y. De obicei X,Y sunt diferite deoarece inmultirea matricilor nu este comutativa:



Sa se rezolve urmatoarele ecuatii matriciale:

1. 2 1 5 6 2 1 5 6
. X = ,notez A= ,B=
2 3 6 8 2 3 6 8

A-1./A.X=B ⇒ A-1.(A.X)= A-1B⇒ (A-1.A).X= A-1B⇒I2.X= A-1B⇒X= A-1B
detA = 2.3 - 2 = 4
A-1=(1/ detA).A*
a*11 a*21
A*=
a*12 a*22

a*11 =(-1)2 .3= 3
a*12 =(-1)3 .2= -2
a*21 =(-1)3 .1= -1
a*22 =(-1)4 .2= 2
3 -1
A*=
-2 2
3 -1 3/4 -1/4
A-1=(1/4) . =
-2 2 -1/2 1/2

3/4 -1/4 5 6 9/4 5/2
X= . =
-1/2 1/2 6 8 1/2 1


2. -1 -2 1 2 -1 -2 1 2
X. = ,notez A= ,B=
5 8 -3 6 5 8 -3 6

X.A=B/.A-1⇒(X.A).A-1=B.A-1⇒X.(A.A-1)=B .A-1⇒X .I2=B. A-1⇒X= B .A-1
detA = -8 +10 =2
A-1=(1/ detA).A*
a*11 a*21
A*=
a*12 a*22

a*11 =(-1)2 .8= 8
a*12 =(-1)3 .(-2)=2
a*21 =(-1)3 .5= -5
a*22 =(-1)4 .(-1)= -1