Comportarea rezolventei in vecinatatea valorilor caracteristice

Comportarea rezolventei in vecinatatea valorilor caracteristice

Daca U este un operator compact , atunci rezultatelor teoremelor III.3.1 si III.3.4. li se adauga fapte mai fine , relative la comportarea rezolventei in vecinatatea unei valori caracteristice.

Un operator liniar continuu V va fi numit finit-dimensional daca el aplica spatiului X intr-un subspatiu finit-dimensional Sa alegem in un sistem complet de elemente liniar independente Prin definitie , pentru arbitrar

Coeficientii depind evident de x. Punand   ne convingem ca functionalele sunt liniare si continue.: liniaritatea nu ridica nici un dubiu iar continuitatea rezulta din faptul ca daca un sir de elemente ale unui spatiu normat finit-dimensional converge catre zero atunci si fiecare coordonata tinde catre zero.

Obtinem astfel

    (18)

Reciproc orice operator V reprezentabil sub forma (18) va fi desigur finit-dimensional.

Sa remarcam ca un operator finit-dimensional este in mod necesar compact.

Sa consideram acum un operator compact U si fie o valoare caracteristica a sa. Este variabila :

Teorema III.5.1. Operatorul U poate fi reprezentat sub forma

unde este un operator finit-dimensional, este compact iar multimea caracteristica a operatorului se compune doar din punctul pe cand multime caracteristica a lui se obtine prin inlaturarea punctului din multimea caracteristica a lui U.

Demonstratie: Se poate considera = 1(in caz contrar am considera in locul lui U operatorul U).In aceasta ipoteza,vom demonstra ca descompunerea operatorului U in suma indicata in teorema I.2.1. indeplineste conditiile date.

Vom folosi notatiile din teorema I.2.1. Sa verificam ca operatorul are unica valoare caracteristica

Intradevar daca si prin urmare , pe baza definitiei operatorului

si este valoarea caracteristica a operatorului

Daca

pentru un atunci deoarece vom avea si prin urmare astfel ca dar

In virtutea egalitatii (19)

ceea ce este posibil doar pentru

Astfel unica valoare caracteristica a operatorului este

Sa demonstram acum afirmatia teorema asupra multimii caracteristice operatorului

Deoarece conform teoremei I.2.1. operatorul are invers 1 nu este valoarea caracteristica a operatorului Fie o valoare catacteristica a operatorului U si un vector propriu corespunzator . Daca cumva atunci rationand ca si mai sus, am obtine

De aceea in descompunerea

trebuie sa avem In virtutea unicitatii descompunerii (20) din relatia

obtinem adica este valoarea caracteristica a operatorului

Invers , fie o valoare caracteristica operatorului si este un vector propriu asociat . Deoarece

avem adica este valoarea caracteristica a operatorului U.

Celelalte afirmatii ale teoremei sunt continute in teorema I.2.1.

Teorema este astfel demonstrata.

O imagine mai completa a comportarii rezolventei in vecinatatea unei valori caracteristice se poate obtine pe baza urmatoarei teoreme.

Teorema III.5.2. Fie o valoare caracteristica a operatorului U. Atunci intr-o vecinatate suficient de mica a punctului are loc dezvoltarea

aici r este rangul valorii caracteristice ; iar operatorii sunt finit-dimensionali; operatorul

Seria din numarul drept al relatiei (21) converge in spatiul de operatori B(X, X)

Demonstratie. Ca si in demonstratia teoremei precedente, vom considera Sa remarcam de la inceput ca , pe baza lemei I.1.2. rangul valorii caracteristice este finit. Folosind notatiile teoremei I.2.1. pe baza observatiei la aceasta teorema , vom observa ca

Reprezentand elementul sub forma

si asociind elementul x elementului si elementul vom construi operatorii , proiectorii spatiului X pe subspatiile In virtutea aceastei estimari (9) din cap. I, acesti operatori sunt continui. Sa remarcam ca

Sa consideram un element arbitrar . Elementul este solutia ecuatiei

Inlocuind aici si tinand cont ca putem pune ecuatia (22) sub forma unui sistem de doua ecuatii

Observand ca , prima ecuatie se poate scrie sub forma

unde am notat, . In virtutea teoremei I.4.1, este valoare regulata a operatorului .Daca este suficient de mic, rezolvanta admite dezvoltarea

unde seria din membrul drept converge in spatiul . Astfel putem scrie

unde si seria din membrul drept converge ca si mai inainte in spatiul .

Sa ne ocupam acum de a doua ecuatie (23)

Sa formam spatiul cat

si sa notam omomorfismul natural al spatiului . Spatiul este evident finit-dimensional. Sa alegem in el un sistem complet de elemente liniar independente si fie elemente ale lui astfel incat Elementele fac parte din . Pe langa aceasta imaginile lor sunt liniar independente deoarece daca

altfel spus,

si prin urmare

ceea ce este posibil doar pentru

Sa competam sistemul de elemente cu elemente astfel ca sa obtinem o baza in . Sa alegem apoi astfel ca

Continuand sa rationam in acest fel construim pentru fiecare elementele astfel ca

In plus elementele

formeaza pentru fiecare baza in spatiul

Sa notam

Ca urmare a relatiilor (25)

Vom demonstra acum ca elementele :

formeaza un sistem complet de elemente liniar independente in

Fie

Deoarece prin aplicarea operatorului obtinem

si prin urmare Ne convingem analog ca si ceilalti coeficienti sunt egali cu zero. Sa consideram acum un element arbitrar Elementul si de aceea exista coeficientii astfel incat

De aceea

Continuand prin aceste rationamente asemanatoare obtinem in cele din urma ca exista astfel incat

si prin urmare

Fie x un element arbitrar din X . Elementul , de unde

si dupa cum s-a observat in sectiunea III.5. coeficientii sunt functionale liniare. Daca notam

atunci pe baza celor spuse va fi operator continuu din X pe iar

Luand in considerare relatia vom scrie membrul drept al celei de a doua ecuatii (23) sub forma dupa care vom inlocui operatorul

Aplicand ambilor membri ai acestei egalitati operatorul , tinand cont de (28) obtinem

dar

de aceea ca urmare a incluziunii (26)

Folosind aceasta relatie putem scrie ecuatia (29) intr-o forma mai simpla

Din (30) gasim

si prin urmare , pe baza ecuatiei (31)

si in general pentru orice

Din egalitatile obtinute deducem

unde sunt constante si Introducand aceasta in (32) obtinem

unde operatorii sunt combinatii liniare de operatori de forma si pe baza punctului b) din teorema I.2.1. rezulta ca operatorii

aplica spatiul X in si prin urmare , sunt finir dimensionali. Apoi din egalitatea (32) se vede ca

De aceea daca de exemplu atunci din relatiile (25)

astfel incat

Din relatiile (24) si (33) obtinem dezvoltarea dorita a rezolventei . Teorema este in intregime demonstrata.

Observatie. Daca U este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert, teorema poate fi intrucatva precizata , deoarece in acest caz r = 1 si prin urmare , in dezvoltarea (21) va aparea doar un singur termen cu exponent negativ al lui anume