Elemente de teoria - semigrupurilor de operatori

Elemente de teoria - semigrupurilor de operatori

Fie X un spatiu Banach real sau complex. In tot ceea ce urmeaza, notam cu B(X) algebra Banach a operatorilor liniari si marginiti pe X .

Consideram de asemenea problema Cauchy abstracta

(A) ,

unde , iar A este generatorul infinitezimal al unui semigrup de clasa

Definitia I.1.1. O familie S B(X) se zice semigrup de operatori daca indeplineste urmatoarele conditii:

(i) S(0) = I ;

(ii) S(t+ s) = S(t) S(s), pentru orice t , s 0.

Daca in plus, are loc

(iii) S(t)x = x, pentru orice x X

atunci S = se zice de clasa sau - semigrup.

Fie S un - semigrup pe X . Consideram multimea

D(A) : = .

Definitia I.1.2. Operatorul

A : D(A) X, Ax : =

se numeste generatorul infinitezimal al - semigrupului

S = .

Exemplul I.1.1. Fie AB(X) si pentru fiecare t0, fie

S(t) : XX,  S(t)x : =x.

Uzual S(t) se noteaza cu si X : = este un - semigrup, atunci exista  doua constante M si astfel incat

  

Teorema I.1.2. ( Proprietati ale - semigrupurilor )

Fie S = un - semigrup,  iar A generatorul sau infinitezimal. Atunci, au loc urmatoarele proprietati:

(i)      pentru orice , aplicatia este continua pe R;

(ii)    daca x D(A), atunci S(t)x , pentru orice   t > 0 si

AS(t)x=S(t)Ax;

(iii ) daca x atunci aplicatia tS(t)x : (0,este derivabila si

(iv) daca x

S(t)x - S(s)x= ,

(v) ds=S(t)x, pentru orice xsi orice t;

(vi) pentru orice x si penru orice t > 0, ds D(A) si A (x  ds)=S(t)x -x;

(vii) , adica domeniul generatorului este dens in X;

(viii) A este un operator liniar inchis.

Definitia I.1.3. O familie U=se zice daca indeplineste urmatoarele conditii :

(i) U(0) = I , identitatea pe spatiul X;

(ii) U(t+s)= U(t)U(s), pentru orice t, s ;

(iii) U(t)x=x , pentru orice x ;

Teorema I.1.4. FieS =un C- semigrup. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) S poate fi extins la un C- grup;

(ii) exista tastfel incat S(t) este inversabil;

(iii)  pentru orice t > 0, S(t) este inversabil.

Definitia I.2.1. Semigrupul S= se zice uniform continuu daca

Teorema I.2.1. ( de caracterizare a semigrupurilor uniform continue Un semigrup S= este uniform continuu daca si numai daca generatorul sau infinitezimal A B(X).

Corolarul I.2.1. Un semigrup S= este uniform continuu daca si numai daca exista un operator A B(X) astfel incat

S(t) , .

Teorema I.4.1. Fie S = un - semigrup pe spatiul Banach X, iar A generatorul sau infinetezimal. Atunci exista M si astfel incat

, .

Teorema I.4.2.(Hille Yosida) Fie A: D(A) un operator liniar inchis si dens. Daca exista M si astfel incat

(i)       () (A);

(ii)      , pentru orice si

orice natunci exista un C- semigrup S al carui generator infinitezimal este A si cu proprietatea ca