MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE "ℂ"
ℂ =ℝ x ℝ ={(x, y) | x, yℝ}= {z | z=x+iy, x,yℝ} - multimea numerelor complexe;
z=(x, y) - numar complex;
(x, 0)=x;
(0, 0)=0;
(1, 0)=1;
(0, 1)=i unitate imaginara;
(x, y)=(x, 0)+(0, y)= (x, 0)+(y, 0)(0, 1);
z1+z2=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) adunarea;
z1z2=(x1, y1)(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) inmultirea.
Proprietati:
(z1+z2)+z3=z2+(z1+z3), z1,z2,z3ℂ asociativitatea adunarii;
(z1z2)z3=z2(z1z3), z1,z2,z3ℂ asociativitatea inmultirii;
z1+z2=z2+z1, z1,z2ℂ comutativitatea adunarii;
z1z2=z2z1, z1,z2ℂ comutativitatea inmultirii;
z+0=0+z=z, zℂ, 0 element neutru pentru adunare;
z1=1z=z, zℂ, 1 element neutru pentru inmultire;
z+(-z)=(-z)+z=0, zℂ, (-z) element opus pentru z;
zz-1=z-1z=1, zℂ*, z-1 element invers pentru z;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3, z1,z2,z3ℂ distributivitatea inmultirii fata de adunare;
(z1+z2)z3=z1z3+z2z3, z1,z2,z3ℂ distributivitatea inmultirii fata de adunare.
Forma algebrica a numarului complex: z=x+iy
Re(z)= x partea reala;
Im(z)=y coeficientul partii imaginare;
iy parte imaginara;
i unitate imaginara;
i2=-1;
z1+z2=(x1+i y1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2) adunarea;
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) inmultirea.
Egalitatea a doua numere complexe:
z1=(x1+i y1)= (x1,y1), z2=(x2+iy2)= (x2,y2), z1=z2 x1=x2 si y1=y2;
Conjugatul numarului complex z:
;
;
;
;
.
Modulul unui numar complex:
|z|=|x+iy|= ℝ.
|z1z2|=|z1|.|z2|;
.
Puterile lui i:
Reprezentarea geometrica a numerelor complexe:
z=x+iy=(x,y), x,yℝ i se asociaza punctul M(x,y);
M se numeste imaginea geometrica a numarului complex x+iy;
x+iy se numeste afixul punctului M;
ΔAOM OM= .
Forma trigonometrica a numerelor complexe: z=r(cos t* + i sin t*)
OM= - r raza polara a imaginii lui z;
x=r cos t*, y=r sin t*, tg t*= ; arg z=t* argument redus al lui z;
Arg z={t | t=arg z +2k, kℤ}={t | t=t*+2k, kℤ} argumentul lui z;
z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ z1. z2=r1. r2 [cos(t1+ t2) + i sin (t1+ t2)] - inmultirea;
z=r(cos t + i sin t) ⇒ zn=rn (cos nt + i sin nt) - ridicarea la putere;
(cos t + i sin t)n = (cos nt + i sin nt) - formula lui Moivre;
z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ [cos(t1- t2) + i sin (t1- t2)] - impartirea;