Regresie si corelatie

REGRESIE SI CORELATIE

Legaturile care exista intre doua variabile statistice pot fi studiate folosind doua tehnici: regresia si corelatia. Corelatia va arata cat de puternica este legatura, dependenta dintre variabile, in timp ce regresia va ajuta in explicarea si previzionarea unui factor pe baza valorii altuia (altora), ceea ce, evident, va reduce incertitudinea privitoare la feno­mene importante, dar aleatoare. In sens statistic, termenul regresie ii apartine statisticianului englez F. Galton (1822-1911).

Exista trei scopuri principale, atunci cand analizam legaturile dintre variabile statistice:

. sa descriem si sa intelegem relatiile de dependenta;

. sa prognozam o noua valoare a variabilei efect;

. sa ajustam si sa controlam variabila efect, prin interventia asupra variabilei cauza.

RECAPITULARE

I. Breviar teoretic

a) Media aritmetica

Media aritmetica sintetizeaza intr-o singura valoare, toate valorile individuale observate.

simpla

ponderata

b) Indicatori statistici ai imprastierii

1. Indicatori simpli ai variatiei

Prin intermediul indicatorilor simpli ai variatiei se caracterizeaza imprastierea elementelor seriei de repartitie studiate fata de medie, sau fata de un anumit element al seriei.

Indicatorii simpli ai variatiei sunt: amplitudinea si abaterile elementelor seriei fata de media lor.

1.1 Amplitudinea

Amplitudinea (A) exprima, in marimi absolute marimea intervalului in care sunt distribuite elementele seriei de repartitie. Amplitudinea absoluta se calculeaza ca diferenta intre cel mai mare si cel mai mic element al seriei.

A=x_max-x_min

Daca seriile de distributie se repartizeaza pe intervale egale sau neegale, amplitudinea (A) se calculeaza ca diferenta intre limita superioara a ultimului interval si limita inferioara a primului interval.

1.2 Abaterea individuala

Abaterea elementelor seriei fata de media lor se obtine in cifre absolute, ca diferenta intre fiecare element al seriei (x_i) si media acestora (), astfel:

d_i = x_i -

Abateri maxime: d_max = x_max -

Abateri minime:  d_min = x_min -

d_i(%) = ;   d_max(%) = d_min(%) =

1.3 Variatia quartilica

Variatia quartilica absoluta VQ_a = Q₃ - Q₁

Evidentiaza campul de imprastiere a 50% din unitatile populatiei

Variatia quartilica relativa

1.4 Variatia decilica

Variatia decilica absoluta: VD_a = D₉ - D₁

Evidentiaza campul de imprastiere a 80% din unitatile populatiei

Variatia decilica relativa:

Masoara cu cat se abate in medie fiecare varianta din cele 80% unitati de la valoarea centrala (D₅ sau M_e)

2. Indicatori sintetici ai variatiei

Indicatorii sintetici sunt marimi medii calculate din abaterile variantelor caracteristicii de la nivelul mediu al acesteia.

2.1 Abaterea medie liniara

Abaterea medie liniara () se calculeaza ca medie aritmetica, simpla sau ponderata, in functie de felul seriei, din valorile absolute ale abaterilor variantelor caracteristicii de la media lor.

Pentru o serie simpla:

Pentru o serie de distributie:

2.2 Dispersia

Dispersia reprezinta media patratica simpla sau ponderata a abaterilor variantelor caracteristicii de la media lor.

Pentru o serie simpla:

Pentru o serie de distributie:

2.3 Abaterea medie patratica

Pentru o serie simpla:

Pentru o serie de distributie:

2.4 Coeficientul de variatie

Coeficientul de variatie este indicatorul folosit pentru comparatia unor caracteristici diferite si analiza variatiei aceleiasi caracteristici in doua colectivitati in care variantele caracteristicii au ordine de marime diferita.

; 

Coeficientul de variatie ia valori de la 0 la 100%

Daca C_V = 0, inseamna lipsa de variatie, valorile sunt egale intre ele si egale cu media lor;

Daca C_V 0 variatia caracteristicii este mica;

Daca C_V 100% variatia caracteristicii este mare.

Intervalul de variatie al lui C_V se poate imparti astfel:

0< C_V T variatie mica care se caracterizeaza prin:

- media este semnificativa, deoarece abaterile elementelor seriei de la medie sunt mici;

- colectivitatea este omogena

35% < C_V T variatie relativ mare

50%< C_V T variatie foarte mare ceea ce inseamna ca:

- media calculata nu este semnificativa

- colectivitatea este eterogena

- se va reface gruparea unitatilor.

c) Metode statistice de analiza a legaturilor dintre fenomene

Analiza legaturilor dintre fenomenele si procesele social-economice are ca punct de plecare punerea in evidenta a existentei legaturilor. Dintre cele mai importante metode de evidentiere a existentei si formei legaturilor, prezentam: metoda seriilor paralele de date interdependente, metoda gruparilor, metoda analizei dispersionale, metoda grafica, metoda functiei de regresie.

1 Metoda seriilor paralele de date interdependente

Metoda seriilor paralele de date interdependente consta in prezentarea paralela a datelor referitoare la mai multe caracteristici. Prin compararea sirurilor de date se constata daca schimbarea valorilor unei caracteristici este determinata in mod sistematic de schimbari in variatia altei caracteristici. Aceasta metoda se foloseste numai cand avem un numar mic de unitati observate.

2 Metoda grafica

Metoda grafica pune in evidenta cel mai bine sensul si forma legaturii dintre indicatorii a caror dependenta se studiaza din punct de vedere statistic.

In cazul reprezentarii grafice se intalnesc urmatoarele situatii:

in cazul in care punctele sunt dispersate la intamplare rezulta ca intre cei doi indicatori nu exista o legatura semnificativa. Aceasta situatie este prezentata in figura 1. Linia trasa prin mijlocul norului de puncte este, in general, paralela cu axa absciselor.

Fig. 1 Legatura nesemnificativa

daca punctele se disperseaza in directia unei anumite linii care nu este paralela cu axa "ox", rezulta ca cele doua caracteristici sunt corelate. In cazul in care linia in jurul careia se concentreaza punctele este o linie dreapta rezulta ca legatura dintre cele doua caracteristici este rectilinie. Daca intre cele doua caracteristici exista o legatura curbilinie aceasta linie este o curba (parabola, hiperbola, exponentiala etc).

Fig. 2 Legatura directa Fig. 3 Legatura inversa

3 Metoda functiilor de regresie

Metoda functiilor de regresie exprima sub forma algoritmica modul in care modificarea caracteristicii rezultative (y) este determinata de modificarea caracteristicii factoriale (x).

y = f(x₁, x₂, . , x_n)

3.1 Regresie simpla liniara

Regresia simpla liniara apreciaza forma dependentei caracteristicii rezultative (y) de variatia caracteristicii factoriale (x), adica: Y_x = a+bx

unde: x - valorile empirice ale caracteristicii factoriale

b - indica panta liniei. In corelatia inversa acest parametru are o valoare
negativa, iar in cazul corelatiei directe, o valoare pozitiva.

Estimarea parametrilor se realizeaza prin metoda celor mai mici patrate.

T

Se deriveaza relatia de mai sus in functie de parametrul "a" si parametrul "b":

T

Se calculeaza parametrii "a" si "b":

3.2 Regresia simpla curbilinie

Regresia simpla curbiline poate fi intalnita sub urmatoarele forme:

Parabola T Y_x = a+bx+cx²

Hiperbola T

Exponentiala T Y_x = ab^x

Masurarea intensitatii legaturilor statistice

Masurarea intensitatii legaturii dintre indicatorii economici, a gradului de determinatie dintre doua sau mai multe caracteristici, poate ajuta la ierarhizarea unor factori ce influenteaza rezultatele economice, participand, alaturi de alte procedee si tehnici de analiza cantitativa a fenomenelor, la fundamentarea unor decizii economice.

Indicatorii folositi pentru a masura intensitatea legaturii sunt: covarianta; coeficientul de corelatie; raportul de corelatie.

Covarianta

Covarianta este indicatorul cu ajutorul caruia se calculeaza legatura dintre o caracteristica factoriala (x) si o caracteristica rezultativa (y).

Daca legatura este directa atunci indicatorul are valoare pozitiva iar daca legatura este de tip invers, atunci indicatorul are valoare negativa. Covarianta este nula daca variabilele sunt independente.

2 Coeficientul de corelatie

Coeficientul de corelatie simpla masoara intensitatea legaturii dintre doua variabile x_i si y_i.

Coeficientul de corelatie poate lua valori cuprinse intre - 1 si +1, adica satisface inegalitatea: .

Cand legatura este apreciata ca slaba

Cand legatura este apreciata ca puternica

Daca ia valori pozitive legatura este directa, daca ia valori negative legatura este inversa.

Valoarea coeficientului de corelatie depinde de forma liniei de regresie, deci in cazul legaturilor neliniare este putin semnificativ, pentru aceasta se foloseste raportul de corelatie.

3 Raportul de corelatie

Raportul de corelatie masoara intensitatea legaturii dintre doua variabile x_i si y_i.

Raportul de corelatie ia valori cuprinse intre 0 si 1, adica satisface inegalitatea:. Semnul raportului de corelatie este dat de semnul coeficientului de regresie (b) din cadrul functiei de regresie.

Raportul de corelatie masoara intensitatea legaturilor indiferent de forma de legatura.

d) Serii cronologice

Pentru ca seriile cronologice sa isi poata indeplini functia de a caracteriza cat mai exact variatia fenomenelor in timp, se folosesc indicatori absoluti, relativi si medii.

Indicatorii seriilor cronologice

Indicatorii absoluti ai seriilor cronologice

Ei redau starea fenomenului intr-o anumita perioada sau modificarile de nivel survenite in decursul timpului. Se deosebesc doua grupe de indicatori:

indicatori de nivel (y_t) care exprima marimea, cuantumul inregistrat de fenomenul analizat in unitatea de timp t.

indicatori ai modificarii absolute (D) redau in marimi absolute cuantumul modificarii in timp a nivelului caracteristicii

Indicatorii modificarii absolute pot fi determinati astfel:

modificarea cu baza fixa: , 

unde: t=2, 3, . , n iar y₁ reprezinta nivelul perioadei de referinta

modificarea cu baza in lant: ;    t=2, 3, . , n

2. Indicatori relativi ai seriilor cronologice

Acesti indicatori redau proportia nivelului, respectiv proportia decalajului realizat intr-o anumita perioada fata de nivelul baza de raportare.

2.1 Indicii de modificare

Indici de crestere cu baza fixa:    t=2,3, . , n

Indici de crestere cu baza in lant: ; t=2,3, . , n

2.2. Ritmul de dinamica exprima sub forma de marimi relative sporul sau scaderea realizata in fiecare perioada fata de nivelul considerat baza de raportare.

In raport cu baza de raportare, ritmul dinamicii poate fi determinat cu baza fixa sau cu baza in lant.

Ritmul dinamicii cu baza fixa, se obtine cu relatia: ; sau

si arata cu cat la suta a crescut nivelul variabilei analizate in intervalul de timp considerat.

Ritmul dinamicii cu baza in lant, se obtine cu relatia: ; sau

sau

3 Indicatorii medii ai seriilor cronologice

Acesti indicatori redau fie nivelul central al caracteristicii, fie cresterea medie inregistrata de fenomenul analizat in decursul timpului.

Determinarea nivelului mediu pentru o serie construita din indicatori de nivel:

nivelul mediu al variabilei

modificarea medie absoluta (sporul )

sau

  pentru baza fixa

- indicele mediu

Indicele mediu de crestere sau scadere (I) exprima proportia medie pe care o reprezinta, pentru perioada succesiva, nivelul variabilei analizate.

unde n este numarul de termeni in sir.

Daca:

< 100% indicele mediu semnalizeaza scaderea sau reducerea fenomenului analizat;

> 100% indicele mediu semnalizeaza cresterea fenomenului analizat

=100% indicele mediu arata ca fenomenul cercetat nu prezinta evolutie, ci stationeaza.

- ritmul mediu de crestere sau scadere ()

Ritmul mediu de crestere sau scadere () arata cu cat creste sau scade in medie variabila y_t in perioada analizata.

Metode de determinare si analiza a trendului (ajustarea seriilor cronologice)

Pentru ajustarea seriilor cronologice se folosesc mai multe procedee: ajustarea pe baza mediilor mobile, ajustarea prin metoda grafica, ajustarea pe baza sporului mediu, ajustarea indicelui mediu, ajustarea prin metode analitice.

Ajustarea prin metoda grafica

Se construieste un grafic in care se prezinta seria initiala de date, dupa care se unesc printr-o linie dreapta termenii extremi ai seriei in asa fel incat linia dreapta sa inregistreze abateri minime fata de termenii reali, dispusi in grafic.

Ajustarea seriilor cronologice ne ofera mai clar tendinta de evolutie in timp a fenomenelor si proceselor economice.

Ajustarea pe baza modificarii medii absolute mediu

Se foloseste cand termenii seriei au tendinta de crestere sub forma unei progresii aritmetice.

Intre primul termen al seriei cronologice initiale sporurile cu baza in lant si ultimul termen exista urmatoarea relatie:

x_n= x₀+D D D D_n/n-1

Considerand ca sporurile cu baza in lant inregistreaza o valoare mica fata de sporul mediu si se pot compensa reciproc, atunci relatia de mai sus devine:

Suma sporurilor medii se transforma intr-un produs de medii, iar relatia dintre primul termen si sporurile medii devine:

Daca se considera variatia de timp (t) dupa care se manifesta termenii seriei dintre primul termen si sporurile medii devine:

 ; t=0,1,2,3 . .n

Tabelul 1

Ajustarea pe baza metodei indicelui mediu

Se foloseste cand termenii seriei se manifesta sub forma unei progresii geometrice, iar ratia este considerata indicele mediu.

Intre ultimul termen al seriei, indicii cu baza in lant in primul termen exista relatia: x_n = x₀·I_1/0·I_2/1·I_3/2 . I_n/n-1

In situatia in care indicii cu baza in lant au valori apropiate intre ei, pot fi inlocuite cu indicele mediu ;

T

unde n - numarul unitatilor de timp corespunzatoare pozitiei fata de termenul de baza.

Formula de calcul a unui termen ajutat poate devine: 

Tabelul 2

Ajustarea prin metode analitice

Seriile cronologice sunt prezentate prin, n termeni care esalonati succesiv dupa o caracteristica de timp descriu evolutia empirica a fenomenului respectiv.

In obtinerea configuratiei noilor serii cronologice un rol deosebit il au primul si ultimul termen ai seriilor initiale.

Pentru valorificarea influentei termenilor intermediari ai seriei cronologice care inregistreaza abateri si pot influenta modificarea sistematica fata de evolutia fenomenelor, se folosesc metode analitice.

Considerand seria cronologica o variabila de timp ce se formeaza ca o functie liniara, exponentiala sau hiperbolica relatiile de calcul se pot sintetiza prin:

unde t - timpul (valori independente)

y - fenomenele prezentate in serie.

Functia liniara va fi utilizata atunci cand graficul prin care se prezinta seria empirica indica  o tendinta de crestere absoluta prin sporuri cu baza in lant, apropiate intre ele.

unde:- valorile teoretice ale caracteristicii ce trebuie ajutata

a - parametrul cu sens de marime medie

b - parametrul care indica influenta caracteristicii factoriale (t) si indica panta liniei

- valorile caracteristicii factoriale.

Functia exponentiala se foloseste cand graficul arata o tendinta de crestere relativ, constanta, respectiv cresterii absolute din ce in ce mai mari, verificata si prin obtinerea unor valori apropiate ale indicilor cu baza in lant.

Ecuatia de estimare a unei parabole de gradul 2 exprimata in functie de timp este:

pentru aflarea parametrilor functiei de regresie necesara ajutarii seriei se aplica metoda celor mai mici patrate, adica:

T

Se determina valorile parametrilor a si b.

conditie

pentru sistemul devine:;

In cazul cand seria este formata dintr-un numar impar de termeni originea valorilor de timp va fi chiar termenul central si variatia de timp se va masura in intervale intregi:

In cazul unei serii dinamice formate dintr-un numar par de termeni, originea valorilor de timp va cadea intre cei doi termeni centrali si variatia de timp se va masura in jumatati de intervale de timp:

Prin ajustare s-au redistribuit influentele factoriale astfel: toti factorii au fost considerati cu influenta constata pe toata perioada si variabil a fost numai timpul.

APLICATIE

RECAPITULATIVA

Se cunosc urmatoarele date privind incasarile medii lunare si suprafata comerciala a 10 societati comerciale avand acelasi profil de activitate:

Tabelul 3

Se cere:

1. Sa se calculeze suprafata medie comerciala si incasarile medii lunare pentru cele 10 societati comerciale;
2. Sa se calculeze abaterea societatilor comerciale fata de valoarea medie;
3. Sa se stabileasca tipul de legatura dintre suprafata comerciala si incasarile medii lunare;
4. Sa se calculeze valorile ajustate ale incasarilor fata de suprafata comerciala;
5. Sa se masoare intensitatea legaturii dintre suprafata comerciala si incasarile medii lunare;