Polinoame cu coeficienti complecsi
I. Multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi
I.1.Definirea polinoamelor
Fie C[X] multimea sirurilor(infinite) de numere(complexe)
, care au numai un numar finit de termeni ai,nenuli, adica exista un numar natural m, astfel incat ai=0, pentru orice i>m.
De exemplu, sirurile ; ; sunt siruri infinite care au un numar finit de termeni nenuli. Sirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste siruri sunt elemente din multimea C[X].
I.2. Adunarea si inmultirea polinoamelor
Definim pe multimea C[X] doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.
. Adunarea polinoamelor:
Fie , doua elemente din multimea C[X]; atunci definim:
,
. Proprietatile adunarii polinoamelor:
(C[X],+) se numeste grup abelian
1. Asociativitatea
, C[X]
Intr-adevar, daca , si atunci avem si deci .
Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .
2. Comutativitatea
, C[X]
Intr-adevar, daca si , avem ,
Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .
3. Element neutru
Polinomul constant 0=(0,0,0, . ) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi C[X],avem:
4. Elemente inversabile
Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi C[X], exista un polinom, notat , astfel incat:
De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este
. Inmultirea polinoamelor:
Fie ,
Atunci definim:
ck
. Proprietatile inmultirii:
1. Asociativitatea
Oricare ar fi C[X], avem:
2. Comutativitatea
Oricare ar fi C[X],avem:
Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem
si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem cr=dr, pentru orice . Deci .
