matematica TRANSFORMARI GEOMETRICE

Fie P multimea punctelor unui plan.

DEFINITIE. O functie f :PP sau o restrictie a unei asemenea functii se numeste transformarea geometrica.

Asadar, transformarea f este denumirea geometrica a functiei. Daca F este o figura geometrica (o submultime de pumcte ale planului P), atunci
F(F)={f(F)| F  F}

Se numeste Imaginea multimii F prin transformarea f (f(F) se mai numeste transformarea figurii F prin f; f(F)= F" este transformatul punctului F prin f sau imaginea punctului F prin f)
Atunci cand utilizam transformarile geometrice in rezolvarrea unor probleme de geometrie (aici discutam translatia si omoteria) trebuie sa stim :
1) sa precizam elementele care definesc transformarile geometrice.
2) sa construim imaginea unui punct printr-o transformare geometrica.
3) sa construim imaginea unei figuri printr-o transformare geometrica.
4) sa determinam punctele care corespund printr-o transformare geometrica.

1) Translatia in plan


DEFINITIE: Fie v un vector dat. Se numeste transltie de vector v , functia care asociaza fiecarui punct M din planul P astfel incat :
MM'= v .


Deci T v (M) = M'. MM'= v ; M' este imaginea lui M prin T v .


V M'


M



Este interesant de vazut comportamentul unor figuri geometrice simple in urma unei translatii.Mai precis de stabilit care sunt elementele acestor figuri care se conserva (care nu se schimba-lungimea segmentului, masura unghiului, etc.)
Vom considera v un vector nenul (acesta fiind cazul interesant)







PROPRIETATI:

T1: Translatia de vector v conserva lungimea unui segment.

Demonstratie. Fie segmentul [AB]. B B'
Demonstrati ( prin dubla incluziune) ca
T v ([AB])=[ A'B'], unde
A'= T v (A), B'=T v (B) (figura 1.)
Cum patrulaterul AA'B'B este paralelogram, v
deducem ca AB= A'B'. A A'
v
Figura 1.


T2: Translatia de vector v duce o dreapta intr-o dreapta oaralela cu cea data.

T v (d)= d' , d || d'.
d d'

Demonstratie: Fie d o dreapta in planul P.
Aratati prin dubla incluziune egalitatea V
T v (d)=d' , unde d' || d (Figura 2.)
OBS: Translatia de vector v conserva
Paralelismul a doua drepte.

V
. Figura 2.


T3: Translatia de vector v conserva coliniaritatea unor puncte si ordinea lor.

Mai precis aratati ca daca A,B,C, sunt coliniare, atunci T v(A), T v(B), T v(C) sunt de asemenea coliniare ( figura 3). ( utilizati Teorema lui Euclid ), iar daca B[AB], atunci
T v(B)  [T v(A) T v(C)].