Siruri

Chestiuni elementare
despre siruri


Prezenta lucrare isi propune prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere reale.
In mod obisnuit, prin sir se intelege o infinitate de numere, distincte sau, nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, . .

Definitie. Numim sir orice functie f : NR, f(n) = an.
Notam (an)n0.

Exemple de siruri:
1) 1, 1, 1, 1, . , 1, .
2) 1, 1, 2, 2, . , n, n, .
3) 10, 102, 103, 104, . , 10n, .
4) 1, , , , . , , .
5) 1,  , ,  , . , , .

Definitie. Sirul (an)n0 este marginit daca exista M > 0 astfel incat an M, pentru orice nN.

Exemplu: sirul an = cos nΠ este marginit, deoarece termenii sai sunt mai mari sau egali cu -1 si mai mici sau egali cu 1.

Definitie. Sirul (an)n0 este monoton crescator daca an  an+1. Sirul (an)n0 este monoton descrescator daca an  an+1.
Exemple: sirul "0, 1, 2, 3, . , n, . " este crescator; sirul "1, , , , . , , . " este descrescator.

Notiunea de convergenta
Daca observam ca termenii sirului (an)n0 se apropie din ce in ce mai mult de numarul a (se "ingramadesc"), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului. Vom spune ca ana (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota .

Mai exact:
Definitie. Sirul (an)n0 este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni.
Sau:
Definitie. Sirul (an)n0 este convergent catre a (are limita a) daca   , n   (un rang depinzand de ), astfel incat n  n, sa avem ana  .

Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.

Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplu. Sirul an = se constata usor ca este descrescator: 1    .   . si marginit inferior de 1; deci = 1.

Proprietati ale sirurilor convergente:
. limita modulului este egala cu modulul limitei;
. limita sumei (diferentei, produsului, catului - daca exista) este egala cu suma (diferenta, produsul, catul) limitelor;
. constanta iese in fata limitei;
. limita radicalului este egala cu radicalul limitei;
. limita unei puteri se distribuie bazei si exponentului, adica lim(xy) = (limx)limy;
. limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei; etc.

Operatii cu 
+ = ; ()+() = (); a = ; la inmultirea (impartirea) infinitilor se aplica regula semnelor; = 0; = ; a = ; a = ; 0 = 0;  = ; loga0 = ; loga = .
Operatii fara sens: ; 0; ; ; 1; 00;0.

Aspectele prezentate mai sus, aprofundate pe baza de exemple, vor constitui baza calculului limitelor de siruri.