Determinarea solutiilor optime cu functii criteriu in limbaj intrare-stare-iesire, fara timp final impus

Determinarea solutiilor optime cu functii criteriu in limbaj intrare-stare-iesire, fara timp final impus

1. Folosirea limbajului intrare-stare-iesire

Limbajul intrare-stare-iesire poate fi folosit atat pentru descrierea functionarii sistemelor de reglare in functie de marimile de iesire - cu schema din figura 1.13 - cat si pentru descrierea functionarii sistemelor de reglare in functie de stare. In paragraful 5.1.4 a fost ilustrata trecerea de la ecuatiile diferentiale in functie de eroare si derivatele ei, respectiv in functie de componenta tranzitorie si derivatele ei (deci de la descrierea intrare-iesire) la ecuatiile de stare (deci la descrierea intrare-stare-iesire) pentru un sistem de reglare in functie de marimile de iesire, cu blocul de reglare instalat pe calea directa, ca in figura 1.13

In cazul reglarii functie de stare, schema de elemente are aspectul din figura 5.3, in ipoteza unui sistem cu o marime de referinta si cu o marime de iesire y; blocurile de reglare - cu factorii de proportionalitate - sunt instalate pe reavtiile in functie de marimile de stare care formeaza vectorul n-dimensional x.

Daca se alege marimea de iesire y ca una din marimile de stare de exemplu

(1)

atunci se adopta

(2)

si se obtine o anumita combinare a reglarii functie de stare cu reglarea functie de iesire.

Astfel, din figura 5.3 se obtine pentru marimea de comanda u expresia

(3)

si introducand (1) si (2) in  (3) rezulta

(4)
avand in vedere (1.61).

Reglarea functie de stare presupune asigurarea accesibilitatii pentru masurarea tuturor starilor; cand starile nu sunt accesibile, se folosesc estimatoare de stare [1].

In cazul general, cand nu are loc relatia (1), se poate adopta

(5)

si relatia (3) capata aspectul

(6)

respectiv

(7)

considerand ca parametrii ai regulatorului reprezinta componentele unui vector K:

(8)

Optimizarea dinamica are ca scop determinarea valorilor optime ale parametrilor ai regulatorului, prin minimizarea unei functii criteriu. In prezentul subcapitol sunt considerate criterii de forma din (2.7), fara timp final impus, criteriile cu un timp final impus fiind considerate in subcapitolul 5.

Determinarea valorilor optime ale parametrilor regulatorului implica si determinarea comenzii optime , in conformitate cu (7).

Pentru sistemele multivariabile, cu mai multe marimi de referinta care formeaza un vector m-dimensional w , cu mai multe marimi de iesire formand vectorul m-dimensional y si cu mai multe marimi de comanda formand vectorul m-dimensional u, relatia (7) capata aspectul

(9)

matricea K avand dimensiuni m x n.

2 Determinarea solutiei optime in conformitate cu functia criteriu

Considerand ca blocul partii fixate F (fig. 5.3) este liniar, multivariabil si functionarea sa este descrisa de ecuatiile de stare

(10)

(11)

se adopta pentru optimizare criteriul

(12)

unde matricele de ponderare Q si R sunt simetrice si pozitiv definite (matricea Q poate fi si pozitiv semidefinita) si au dimensiunile n x n, respective m x m. Matricele Q si R pot si astfel alese incat sa asigure efecte suplimentare de optimizare, in sensul localizarii radacinilor ecuatiei caracteristice in anumite domenii ale planului complex, rezultand astfel indici suplimentari de calitate a procesului tranzitoriu.

Intrucat criteriul se refera numai la regimul tranzitoriu spre deosebire de criteriile si din (2.8) si (2.9), la care apare un timp final impus si intervin si termini aferenti noului regim stationar se poate considera conventional.

(13)

ceea ce inseamna ca in noul regim stationar se va obtine , deci , conform cu (11). Asemenea situatii intervin, de exemplu cand vectorul x reprezinta abaterea de la o evolutie dorita.

Din (9) si (13) rezulta ca in acest caz intre vectorii de comanda u si de stare x are loc relatia

(14)

si deci in noul regim stationar se va obtine si

Tocmai faptul ca dupa incheierea regimului tranzitoriu, la , va rezulta

(15)

si

(16)

asigura o valoare finite a integralei din (12) si deci posibilitatea determinarii unei comenzi optimale care minimizeaza valoarea integralei; daca in noul regim stationar nu ar fi indeplinite conditiile (15) si (16), atunci integrala ar avea o valoare infinita si problema minimizarii nu s-ar putea pune.

Notand cu matricea parametrilor optimi ai regulatorului, comanda optimala - care asigura minimizarea criteriului - are expresia

(17)

conform cu (14).

Pentru asigurarea existentei unei solutii optimale, partea fixata F - descrisa de (10) si (11) - trebuie sa fie complet controlabila [1,3,12,13].

Conditia de controlabilitate fiind asigurata, se presupune ca exista o lege de reglare in functie de stare, de forma

(18)

care asigura obtinerea unui sistem asimptotic stabil [6] si minimizeaza criteriul

Expresia matricei poate fi obtinuta prin intermediul functiilor Liapunov. Notand - ca si in paragraful 5.1.4 - integrandul (aferent criteriului ) prin

(19)

(20)

Matricele Q si R fiind pozitiv definite, functia U este pozitiv definita.

Ca si in (3.53), functia Liapunov pozitiv definita V trebuie astfel aleasa incat sa se obtina - in virtutea ecuatiei de stare a sistemului

(21)

Introducand (18) in (10), ecuatia de stare capata aspectul

(22)

iar din (18) si (19) rezulta

(23)

Inlocuind (23) in (21) se obtine

(24)

si deci derivata este negativ definita, functia U fiind pozitiv definita.

Derivata poate fi pusa sub forma

(25)

si introducand (22) in (25) se obtine expresia derivatei in virtutea ecuatiei de stare:

(26)

Din (24) si (26) rezulta

(27)

Prin derivaera partiala a expresiei (27) in raport cu f(x) se obtine

respectiv   

(28)

Din (20) si (21) se obtine

(29)

relatie analoaga cu (2.72)

Ca si in (2.73) se poate scrie

(30)

Avand in vedere (15) si notand

(31)

expresia (30) capata forma

(32)

(33)

functia V fiind pozitiv definita.

Legea de reglare (18) devine optimala daca minimizeaza expresia din (32), fiind deci necesara conditia

(34)

Avand in vedere (32), conditia (34) capata aspectul

(35)

Pentru ca relatia (35) sa fie satisfacuta (pentru orice valori initiale este necesara conditia

(36)

Datorita relatiei (36), expresia (28) capata forma

si rezulta astfel legea de reglare

(37)

ramanand sa fie determinata derivata partiala .

In acest scop se introduce (37) in (27) si se obtine

respectiv

(38)

(matricea R fiind simetrica) sau

(39)

Intrucat are loc egalitatea

relatia (39) poate fi pusa sub forma

(40)

Expresia (40) arata ca egalitatea va fi satisfacuta daca exista o dependenta liniara a gradientului in functie de vectorul de stare x, de forma

matricea simetrica pozitiv definita P satisfacand ecuatia matriceala algebrica Riccati

, (41)

deoarece prin introducerea expresiei gradientului in (40) se obtine

(42)

Intrucat (42) se obtine din (41) inmultind la stanga cu si la dreapta cu x, asigurarea egalitatii (41) implica si satisfacerea relatiilor (42) si (40), deci legea de reglare (37) cu adoptarea expresiei mentionate a gradientului - asigura minimizarea criteriului , satisfacand conditiile (34) si (36).

Intrucat matricea P este simetrica, ecuatia Riccati (41) capata forma

(43)

Matricele A, B, Q si R fiind cunoscute din datele initiale (10) si (12), matricea P se obtine prin rezolvarea ecuatiei (43).

Inlocuind (37) in (18) si avand in vedere expresia gradientului, se obtine comanda optimala

(44)

respectiv - comparand (17) cu (44) - rezulta matricea parametrilor optimi ai regulatorului in functie de stare

(45)

3. Valoarea minima a criteriului , obtinuta prin comanda optimala

Considerand ca partea fixata F este descrisa de ecuatiile de stare (10), (11) si adoptand un criteriu de forma

(46)

- care rezulta din (12) adoptand , I fiind matricea unitate - valoarea minima asigurata de comanda optimala (44) poate fi obtinuta pornind de la egalitatea

(47)

matricea simetrica P fiind solutia ecuatiei algebrice Riccati (43).

Inlocuind in (47) expresiile si care rezulta din (10), se obtine

, (48)

deoarece are loc egalitatea marimilor scalare

(49)

Prin integrarea expresiei (48) se obtine

(50)

si avand in vedere (15) rezulta

(51)

Din (50) si (51) se obtine

(52)

Intrucat s-a adoptat R = I, ecuatia Riccati (43) are forma

rezultand

(53)

Inlocuind (53) in (52) se obtine

respectiv, adaugand si scazand la integrand rezulta

sau

(54)

Conform cu (49) are loc egalitatea

(55)

si inlocuind (55) in (54) se obtine

(56)

sau

(57)

respectiv

(58)

identitatea dintre expresiile (56) si (57) verificandu-se prin efectuarea inmultirii din membrul drept.

Intrucat s-a adoptat R = I, legea de reglare optimala (5.207 devine

(59)

si idn (58) se constata ca pentru rezulta valoarea minima a criteriului

(60)

avand in vedere si (46).

Ca si in (3.7) , valoarea minima a criteriului depinde de o valoare initiala, respectiv de x(0).