Determinarea coordonatelor unui punct prin metoda intersectiei multiple inapoi

Determinarea coordonatelor unui punct prin metoda intersectiei multiple inapoi

Metoda intersectiei inapoi reprezinta o metoda topo-geodezica utilizata in vederea indesirii retelei de sprijin necesara executarii ridicarilor topografice de detaliu.

Pozitia unui punct in plan se poate determina prin intersectie inapoi daca se cunosc unghiurile formate de directiile spre punctele vechi si coordonatele acestora.Asadar, pe teren se stationeaza doar in punctual nou si se masoara unghiurile formate de directiile spre cel putin patru puncte cunoscute din reteaua geodezica de sprijin.

Metoda este avantajosa sub raportul lucrarilor de teren dar calulele au constituit in teren o problema.Din acest motiv in rezolvarea interesectiei inapoi -cunoscuta in literatura sub numele de Pothénot sau retrointersectie- s-au cautat mereu solutii si se cunosc doua rezolvari si anume Procedeul Delamber si Procedeul Collins.

Coordonatele rectangulare ale punctului de retrointersectie se pot determina semiriguros prin metode analitice de calcul sau riguros prin metoda celor mai mici patrate.

Lipsa vizibilitatii catre orice punct din reteaua de sprijin de pe suprafata de lucru din tema de proiect a impus alegerea amplasamentului unui punct din imediata vecinatate a corpului de proprietate,astfel incat sq fie vizibilitate catre cat mai multe puncte.

Alegerea amplasamentului punctului de lucru din retrointersectie s-a facut astfel incat sa se poata efectua masuratori unghiulare in conditii optime de lucru si de semenea sa poata fi asigurata transmiterea coordonatelor acestui punct de pe suprafata corpului de proprietate.

Dupa materializarea punctului de retrointersectie s-au efectuat masuratori unghiulare catre cinci puncte din reteaua geodezica si anume:punctele 1002,1004,1007,1010,1012.

In tabelul 2.1 sunt inregistrate directiile azimutale din punctul nou si coordonatele rectangulare ale punctelor retelei geodezice.

Determinarea coordonatelor punctui de intersectie notat cu 2007 s-a facut prin metode riguroase,metoda retrointersectiei facandu-se un numar de patru combinatii.In continuare se face prezentarea modelului de lucru.

Pentru inceput se prezinta datele necesare procesului de lucru:

1.Schita cu punctele retelei de triangulatie(figura 2.1);

2.Coordonatele rectangulare absolute ale punctelor vechi din reteaua de triangulatie(tabelul 1.1)

3. Valorile numerice ale masuratorilor unghiulare(tabelul 1.1)

Date cunoscute:

Tabel 1.1

1.1 Calculul coordonatelor provizorii ale punctului nou

Observatiile geodezice efectuate pe suprafata terestra (reala) sunt raportate la verticala locului, in functie de care se orienteaza axa principala (verticala) a instrumentului si care este perpendiculara pe suprafata de nivel ce trece prin punctul de statie. Deoarece prin calcul, determinarea punctului se face fata de alte suprafete de referinta (elipsoidul de referinta, sfera de raza medie sau planul de proiectie) pozitia verticala trebuie raportata la normalele duse la aceste suprafete, rezultand diverse unghiuri de deviatie a verticalei, asa cum s-a prezentat la cursurile de Cartografie matematica si de Geodezie elipsoidala. In retelele de triangulatie de indesire, ca in cazul de fata, calculele se executa in raport cu o suprafata plana, corespunzatoare proiectiei "stereo "70". Din aceasta cauza, inainte de a fi folosite in compensarea riguroasa, observatiile azimutale efectuate pe teren, prin metoda seriilor complete, se compenseaza in statie, dupa care se reduc mai intai la elipsoidul de referinta prin aplicarea a trei corectii (corectia de linie geodezica, corectia datorata altitudinii punctului vizat si corectia datorata deviatiei verticalei), la care se adauga corectiile de centrare si de reducere. Pentru prelucrarea directiilor azimutale in planul de proiectie se aplica si corectiile de reducere la coarda. Pentru calculul acestor corectii este necesar calculul coordonatelor preliminare ale tuturor punctelor noi.

Coordonatele preliminare se determina prin intersectii inainte sau inapoi, utilizand directiile medii masurate si coordonatele punctelor vechi.

Calculul coordonatelor provizorii ale punctului nou se face prin intersectie inapoi Procedeul Collins, din mai multe puncte vechi (unele din aceste vize sunt catre turle de biserici, care sunt insa deosebit de utile deoarece sunt usor vizibile , chiar de la distante mari) din reteaua de triangulatie, se efectueaza observatii azimutale.

In vederea determinarii coordonatelor rectangulare plane X,Y ale punctului 2007 s-a folosit ca procedeu de lucru metoda retrointersectiei facandu-se un numar de patru combinatii.

Varianta I : 1002-1010-1012

Inventarul de coordonate al punctelor de sprijin

Tabel 1.2

Schita din teren

Figura:1.2 Schita variantei I 1002-1010-1012

3.Elementele masurate pe teren

Tabel 1.3

Calculul va cuprinde urmatoarele etape:

Calculul distanelor orizontale intre punctele vechi si al orientarilor directiilor dintre punctele vechi;

Calculul unghiului ;

Calculul constantei unghiulare A;

Calculul unghiului ;

Calculul valorilor (A- ) si al unghiurilor si ;

Calculul orientarilor de la punctele 1002,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul distantelor de la punctele 1002,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul coordonatelor relative ale punctului nou in raport cu punctele vechi;

Calculul coordonatelor rectangular ale punctului nou;

Varianta II : 1002-1007-1012

Inventarul de coordonate al punctelor de sprijin

Tabel 1.4

Schita din teren

Figura:1.2 Schita variantei II 1002-1007-1012

3.Elementele masurate pe teren

Tabel 1.5

Calculul va cuprinde urmatoarele etape:

Calculul distanelor orizontale intre punctele vechi si al orientarilor directiilor dintre punctele vechi;

Calculul unghiului ;

Calculul constantei unghiulare A;

Calculul unghiului ;

Calculul valorilor (A- ) si al unghiurilor si ;

Calculul orientarilor de la punctele 1002,1007,1012 catre punctul 2007;

Calculul distantelor de la punctele 1002,1007,1012 catre punctul 2007;

Calculul coordonatelor relative ale punctului nou in raport cu punctele vechi;

Calculul coordonatelor rectangular ale punctului nou;

Varianta III : 1004-1010-1012

Inventarul de coordonate al punctelor de sprijin

Tabel 1.6

Schita din teren

Figura:1.2 Schita variantei III 1004-1010-1012

3.Elementele masurate pe teren

Tabel 1.7

Calculul va cuprinde urmatoarele etape:

Calculul distanelor orizontale intre punctele vechi si al orientarilor directiilor dintre punctele vechi;

Calculul unghiului ;

Calculul constantei unghiulare A;

Calculul unghiului ;

Calculul valorilor (A- ) si al unghiurilor si ;

Calculul orientarilor de la punctele 1004,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul distantelor de la punctele 1004,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul coordonatelor relative ale punctului nou in raport cu punctele vechi;

Calculul coordonatelor rectangular ale punctului nou;

Varianta IV : 1007-1010-1012

Inventarul de coordonate al punctelor de sprijin

Tabel 1.8

Schita din teren

Figura:1.2 Schita variantei IV1007-1010-1012

3.Elementele masurate pe teren

Tabel 1.9

Calculul va cuprinde urmatoarele etape:

Calculul distanelor orizontale intre punctele vechi si al orientarilor directiilor dintre punctele vechi;

Calculul unghiului ;

Calculul constantei unghiulare A;

Calculul unghiului ;

Calculul valorilor (A- ) si al unghiurilor si ;

Calculul orientarilor de la punctele 1007,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul distantelor de la punctele 1007,1010,1012 catre punctul 2007;

Calculul coordonatelor relative ale punctului nou in raport cu punctele vechi;

Calculul coordonatelor rectangular ale punctului nou;

Calculul preciziei de determinare ale coordonatelor punctului nou 2007;

2.2 Compensarea coordonatelor punctului 2700, determinat prin intersectie multipla inapoi.

Datele initiale:

Schita cu punctele retelei de triangulatie si vizele azimutale ;

Coordonatele rectangulare plane ale punctelor vechi (cunoscute) ale

retelei geodezice de triangulatie - tabelul 1.11;

Directiile azimutale masurate in retea, centrate si reduse in planul de

proiectie - tabelul 1.11.

Tabel 1.11

Succesiunea operatiilor de calcul este urmatoarea:

Calculul coordonatelor provizorii ale punctului nou;

Calculul orientarilor si distantelor provizorii dintre punctul nou si cele vechi;

Calculul coeficientilor de directie si verificarea lor

Calculul termenilor liberi

Scrierea sistemului initial al ecuatiilor de corectii

Scrierea sistemului final al ecuatiilor de corectii

Intocmirea sistemului ecuatiilor normale al necunoscutelor

Rezolvarea sistemului ecuatiilor normale si verificarea solutiilor

Calculul coordonatelor compensate ale punctului nou

Calculul corectiei unghiului de orientare al statiei si a valorii compensate a unghiului

Calculul corectiilor si a sumei patratelor corectiilor

Calculul valorilor compensate ale directiilor azimutale si ale orientarilor directiilor, inclusiv controlul compensarii

Calculul erorii medii patratice a unei singure masuratori directe

Calculul erorilor medii patratice ale marimilor compensate ale necunoscutelor si erorii totale in pozitia punctului pe plan

Calculul elementelor elipsei erorilor si ale podarei elipsei erorilor pentru punctul nou

Constructia grafica a podarei elipsei erorilor la scara 3:1

Calculul erorilor medii patratice ale marimilor compensate ale orientarilor si

distantelor dintre punctul nou si punctele vechi.

S-au folosit urmatoarele notatii:

r - numarul de directii masurate;

n - numarul de necunoscute;

i - punct vechi de coordonate cunoscute;

, - coordonatele rectangulare ale punctelor vechi;

, - coordonatele rectangulare compensate ale punctului nou;

, - coordonatele provizorii ale punctulului nou;

Dx^o, Dy^o - coordonate relative provizorii;

- distante provizorii;

q orientarea provizorie a fiecarei directii masurate;

Z_i^o - unghi de orientare individual pe fiecare directie masurata;

a - directie azimutala provizorie centrata si redusa la plan;

Z - unghi mediu de orientare provizoriu;

l_i - termenul liber pentru directia masurata din statia i

a_i, b_i - coeficientii de directie;

dx, dy, dz - necunoscute;

v_i - corectii rezultate din compensare;

Z₂₀₀₇ - unghi mediu de orientare compensat;

a_2007-i - directie azimutala compensata;

q_2007-i - orientarea compensata a fiecarei directii masurate

Calculul va cuprinde urmatoarele etape:

Calculul coordonatelor provizorii ale punctului nou.

Pentru compensarea riguroasa, indiferent de metoda de compensare folosita (metoda observatiilor indirecte sau conditionate) sunt necesare coordonatele provizorii ale punctelor noi ale retelei geodezice de triangulatie.

Avand coordonatele punctelor vechi si directiile azimutale centrate si reduse la planul de proiectie, se calculeaza pentru punctele noi, o noua serie de coordonate, denumite coordonate provizorii, aproximarea de calcul a acestora fiind imbunatatita in raport cu coordonatele preliminare.

S-a efectuat calculul coordonatelor provizorii ale punctului nou 2007 prin intersectie

multipla inapoi folosind metoda variatiei coordonatelor.

Calculul orientarilor si distantelor provizorii dintre punctul nou si cele vechi.

Pe baza coordonatelor cunoscute ale punctelor vechi X_i ,Y_i , i= (tabelul 1.11) si ale coordonatelor provizorii ale punctului nou 2007, se calculeaza mai intai orientarile provizorii ale directiilor, folosind relatia

=

unde i - punctul vechi .

Distantele provizorii se calculeaza cu formulele :

= =

Operatiile de calcul se conduc in tabelul 1.12, coloanele 1-6.

Tabel 1.12

Calculul coeficientilor de directie si verificarea lor

Coeficientii de directie reprezinta coeficientii necunoscutelor din ecuatiile de corectii si exprima variatia orientarii pe unitatea de lungime considerata (coeficientul a pe axa X si coeficientul b pe axa Y). Din motive practice, in triangulatia de stat corectiile unghiulare se exprima in secunde, iar necunoscutele (corectiile coordonatelor), in decimetri. De asemenea, distantele intre puncte, ca si coordonatele relative, se exprima in kilometri.Din aceasta cauza, formulele folosite in practica calcularii coeficientilor de directie pentru cazul gradatiei centezimale sunt :

Pe baza acestor formule se calculeaza coeficientii de directie a_2007-i si b_2007-i (2007 - punct nou, i - punct vechi), in acelasi tabel cu calculul orientarilor si distantelor provizorii, coloana 7.

Controlul calcularii coeficientilor de directie se face cu formula :

a/b = - tg θ^o, in coloana 8 a tabelului 1.12.

Calculul termenilor liberi

Unghiul de orientare al statiei Z₂₀₀₇ , este unghiul facut de directia nordului cu directia de referinta in raport cu care s-au masurat pe teren valorile unghiulare ale directiilor orizontale.(Figura 1.6).

Modificat!!!

Figura 1.6

Marimea acestui unghi se obtine pe baza valorilor unghiulare al directiilor θ , trecute in tabelul 1.13, coloanele 3 si 4, cu formula:

Zⁱ₂₀₀₇= θ^o_2007-i - α^o_2007-i

unde: Zⁱ₂₀₀₇ - unghi de orientare individual pe fiecare directie masurata;

θ^o_2007-i - orientarea provizorie a fiecarei directii masurate;

α^o_2007-i - directie azimutala provizorie centrata si redusa la plan;

i - punct vizat.

Din cauza erorilor de masurare a directiilor orizontale , precum si a erorilor coordonatelor punctelor vechi, unghiurile de orientare in statie nu vor fi egale intre ele,decat in mod intamplator. Pentru a orienta statia se calculeaza un unghi de orientare mediu, cu formula :

Z^o₂₀₀₇ =

unde: Z^o₂₀₀₇ - unghi mediu de orientare provizoriu;

r - numarul de directii masurate din statia 2007.

Termenii liberi ai ecuatiilor de corectii se calculeaza cu relatia

l^cc_2007-i = Zⁱ_2007- Z^o₂₀₀₇

unde: l_2007-i - termenul liber pentru directia masurata din statia 2007 i;

Zⁱ₂₀₀₇ - unghi de orientare provizoriu individual pe fiecare directie masurata;

Z^o₂₀₀₇- unghi mediu de orientare provizoriu.

ale caror valori, exprimate in secunde centezimale, se trec in coloana 6. Se face suma algebrica a termenilor liberi, verificandu-se conditia [l] = 0.

Tabel 1.13

Scrierea sistemului initial al ecuatiilor de corectii

Deoarece pentru fiecare directie azimutala masurata direct pe teren, va corespunde cate o ecuatie de corectii, pentru compensarea coordonatelor provizorii ale punctului nou 2007, se va scrie sistemul initial al ecuatiilor de corectii, de forma generala:

E_i : -dz + a_i dx + b_i dy + l_i = v_i , cu p_j =1

unde pentru simplificre, s-au introdus notatiile

a_2007-i = a_i ; b_2007-i = b_i; l_2007-i = l_i; v_2007-i = v_i ; p_2007-i= p_j.

Numarul initial al ecuatiilor corectiilor, scrise pentru directiile masurate, este egal cu numarul directiilor in cadrul retelei (r = 5).

Scrierea sistemului final al ecuatiilor de corectii

Deoarece in sistemul initial al sistemului de corectii necunoscuta dz are coeficientul egal cu -1, aceasta se va putea elimina prin aplicarea regulei intai a lui Schreiber sau situatia 1 de echivalenta. Acest lucru se realizeaza prin introducerea conditiilor [v] = 0 si [l] = 0.

Sistemul final al ecuatiilor de corectii se obtine direct din sistemul initial dar fara necunoscuta dz si avand corectiile v_i, la care se adauga o ecuatie suplimentara, a (r+1)-a. Noul sistem este ponderat, primele r = 6 ecuatii avand ponderile egale cu unitatea, iar ultima, a sasea, numita ecuatia suma, avand ponderea - . In acest fel, sistemul final al ecuatiilor de corectii se va prezenta sub forma

- a₁ dx - b₁ dy + l₁ = v'₁ , cu p₁ = 1

- a₂ dx - b₂ dy + l₂ = v'₂ , cu p₂ = 1

- a₃ dx - b₃ dy + l₃ = v'₃ , cu p₃ = 1

- a₄ dx - b₄ dy + l₄ = v'₄ , cu p₄ = 1

- a₅ dx - b₅ dy + l₅ = v'₅ , cu p₅ = 1

- [a]dx - [b]dy +[l] = [v'], cu p₅ =

Sistemul final al ecuatiilor de corectii contine un numar de (r+1)=(5+1)=6 ecuatii, cu 7 necunoscute (dx,dy,v_1,v₂, . ,v_4, v₅) astfel ca nu se poate rezolva.

Intocmirea sistemului ecuatiilor normale al necunoscutelor

In sistemul final al ecuatiilor de corectii transformate, marimile corectiilor v' fiind mici, asemanatoare erorilor, li se pot aplica principiul de minim :

[pv'v'] → minim

Deoarece suma considerata este o functie de marimile necunoscutelor ramase dx si dy, prin anularea derivatei intaia se ajunge la conditiile de minimum

[pav'] = 0 ; [pbv'] = 0 ,

reprezentand lema lui Gauss. Prin inlocuirea corectiilor v' cu expresiile lor din ecuatiile de corectii finale, se ajunge la un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, avand forma:

[paa]dx + [pab]dy + [pal] = 0

[pab]dx + [pbb]dy + [pbl] = 0

si care reprezinta sistemul ecuatiilor normale al necunoscutelor. In acest sistem, coeficientii de pe diagonala principala sunt totdeauna patratici iar coeficientii dreptunghiulari, pozitivi sau negativi, sunt simetrici in raport cu diagonala principala. In acest caz, determinantul sistemului este intotdeauna diferit de zero (D ≠ 0), sistemul admitand solutii unice.

Calculul coeficientilor, termenilor liberi si termenilor suma ai ecuatiilor normale se efectueaza in tabelul 1.14.

Pentru controlul inscrierii corecte ,ca si al calculelor ulterioare, se fac sumele pe orizontala:

-a_i - bi + l_i = s_i , i =

-[a] - [b] +0 = S'

Controlul inscrierii datelor in tabelul ecuatiilor de corectii finale (ecuatii fictive echivalente), se face cu ajutorul expresiei evidente

S' = [s], respectiv -2.423= -2.423

Controlul calcularii coeficientilor, termenilor liberi si ai termenilor suma, se face cu relatiile

In tabelul 1.15 sunt trecuti numai coeficientii si termenii liberi ai ecuatiilor normale scrise sub forma prescurtata. Din aceasta cauza, incepand cu linia a doua la insumare se vor lua si termenii situati deasupra termenilor patratici.

Tabel 1.14

Tabel 1.15

Rezolvarea sistemului ecuatiilor normale si verificarea solutiilor

Fiind un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, rezolvarea lor se face cu ajutorul metodei Cramer,folosind relatiile

dx =0.017 dm= 0.002 m ;

dy = -0.026 dm= -0.003 m ;

Verificarea solutiilor se face cu relatia

([pas] - [pal])dx + ([pbs] - [pbl])dy = -([pls] - [pll])

rezultand: 

-0.089= -0.089

Calculul coordonatelor compensate ale punctului nou

Coordonatele rectangulare plane compensate ale punctului nou se obtin prin insumarea algebrica a coordonatelor provizorii cu marimile necunoscutelor (corectiilor) :

X = X^o₂₀₀₇ + dx = 5383.213+0.002 =5383.215 m ;

Y = Y^o₂₀₀₇ + dy = 14144.694-0.003 = 14144.6917m;

unde: X_j, Y_j - valorile marimilor coordonatelor compensate;

X^o₂₀₀₇, Y^o₂₀₀₇ - valorile provizorii ale coordonatelor punctelor noi;

dx, dy - valorile corectiilor.

Calculul corectiei unghiului de orientare al statiei si a valorii compensate a unghiului

Pentru punctul de statie 2007, se calculeaza necunoscuta dz , reprezentand corectia unghiului de orientare al statiei :

dz = = - 0^cc,0030

unde: [a], [b] - coeficientii ecuatiilor suma pentru fiecare statie.

Pe baza ei, se calculeaza unghiul de orientare compensata a directiei de origine :

Z₂₀₀₇ = Z^o₂₀₀₇ + dz = 327^g 51^c 11^cc,224 - 0^cc,0030/10000 = 327^g 51^c 11^cc,221

Calculul corectiilor si a sumei patratelor corectiilor

Prin inlocuirea valorilor necunoscutelor dx, dy, dz, in sistemul initial (netransformat) al ecuatiilor de corectii, se obtin marimile corectiilor :

E_i : -dz + a_i dx + b_i dy - a_i dx - b_i dy + l_i = v_i (i = )

Calculul corectiilor se conduce in tabelul 2.16. Se face verificarea  [v_j] = 0. In acelasi tabel se calculeaza suma patratelor corectiilor, functie directa de marimile acestora, (coloana 8) :

[vv] = v₁² + v₂² + . + v₅² = 0.069

iar pentru control, ca suma ale produselor corectiilor cu termenii liberi,    (coloana 9)

[vv] = [vl] = v₁ l₁ + v₂ l₂+ . + v₄ l₄₊ v₅ l₅ = 0.069

Tabel 1.16

Calculul valorilor compensate ale directiilor azimutale si ale orientarilor directiilor, inclusiv controlul compensarii

Pe baza valorilor provizorii ale directiilor azimutale (centrate si reduse la planul de proiectie) si ale corectiilor rezultate prin compensare, se obtin valorile compensate ale directiilor azimutale, folosind expresia :

α _2007-i= α^o_2007-i+ v_i ; i =

unde: a_2007-i - directie azimutala compensata;

a_2007-i^o - directie azimutala provizorie centrata si redusa la plan;

v_i - corectii rezultate din compensare.

Cu ajutorul acestora si a unghiului de orientare compensat al statiei, se calculeaza orientarile compensate ale directiilor :

Θ_2007-i = α_2007-i + Z_2007-i; i =

unde: q_2007-i - orientarea compensata a fiecarei directii masurate;

a_2007-i - directie azimutala compensata ;

Z_2007-i - unghi mediu de orientare compensat.

Calculele se conduc in tabelul 1.17.

Pentru controlul final al compensarii se calculeaza orientarile si distantele dintre punctul nou compensat si punctele vechi, cu relatiile cunoscute (tabelul 1.18) :

θ _2007-i = arctg

D = = =

Verificarea compensarii se face prin diferentele dintre orientarile calculate pe baza directiilor azimutale compensate si a unghiului de orientare compensat al statiei(tabelul 1.12 ,coloana 4) si orientarile directiilor calculate din coordonatele compensate ale punctului nou si coordonatele punctelor vechi (tabelul 1.18, coloana 4). Comparatia dintre cele doua siruri de valori releva egalitatea marimilor si deci, corectitudinea calculului.

(2007-1002) θ _2007-i- θ^c _2007-i = 327^g 51^c 11^cc,23 - 327^g 51^c 11^cc,23 = 0^cc,00

(2007-1004) θ _2007-i- θ^c _2007-i = 346^g 37^c 64^cc,96 - 346^g 37^c 64^cc,96 = 0^cc,00

(2007-1007) θ _2007-i- θ^c _2007-i = 356^g 19^c 86^cc,32 - 356^g 19^c 86^cc,32 = 0^cc,00

(2007-1010) θ _2007-i- θ^c _2007-i = 71^g 11^c 49^cc,13 - 71^g 11^c 49^cc,13 = 0^cc,00

(2007-1012) θ _2007-i- θ^c _2007-i = 196^g 21^c 42^cc,20 - 196^g 21^c 42^cc,20 = 0^cc,00

Cu operatia de verificare, procesul compensarii coordonatelor punctelor noi, determinate prin metoda masuratorilor indirecte este incheiat.

Calculul erorii medii patratice a unei singure masuratori directe

Pentru evaluarea preciziei in pozitia pe plan a punctului nou 100, se calculeaza mai intai eroarea medie patratica a unei singure masuratori directe de aceeasi precizie, cu relatia:

s₀ = ± = ± = ± 0^cc,19

Valoarea obtinuta reprezinta eroarea post-compensare a unei directii masurata pe teren cu aceeasi precizie. La numitor r = 5 numarul ecuatiilor initiale de corectii (numarul directiilor masurate) iar n = 3 numarul necunoscutelor dx,dy,dz.

Calculul erorilor medii patratice ale marimilor compensate ale necunoscutelor si erorii totale in pozitia punctului pe plan

Erorile medii patratice ale masuratorilor compensate ale necunoscutelor dx si dy, reprezinta erorile de determinare a celor mai probabile valori ale coordonatelor punctului nou, numite coordonate compensate X₁₀₀ si Y₁₀₀. Astfel, erorile medii ale abscisei si ale ordonatei punctului noi sunt calculate cu relatiile

s_x = ± s₀ ; s_y = ± s₀

unde :

s₀ - eroarea medie patratica a unei singure masuratori directe de aceeasi

precizie;

Q₁₁, Q₂₂ - coeficietii de pondere patratici ale celor doua necunoscute (dx, dy).

Se calculeaza coeficietii de pondere patratici cu formulele

Q₁₁ = = 1.25

Q₂₂ = = 0.45

dupa care, erorile medii patratice sunt

s_x = ± s₀ = ± 0^cc,19 = ± 0.20 075dm. = ± 20 .75mm.

s_y = ± s₀ = ± 0^cc,19 = ± 0.12742dm. = ± 12.42 mm.

Ele reprezinta erorile in pozitia punctului de-a lungul axelor de coordonate. Pe baza lor se calculeaza eroarea totala in pozitia punctului cu formula :

S₂₀₀₇ = = 24.19 mm.

Daca erorile s_x si s_y pot fi pozitive si negative, eroarea totala este esential pozitiva. Dezavantajul erorilor medii patratice consta in faptul ca, ele nu permit cunoasterea directiilor de-a lungul carora erorile sunt maxime si minime, respectiv marimile acestora. Acest lucru se poate cunoaste cu ajutorul elipsei erorilor si a podarei elipsei erorilor.

Calculul elementelor elipsei erorilor si ale podarei elipsei erorilor pentru punctul nou

Se calculeaza orientarile directiilor reciproc perpendiculare de-a lungul carora erorile vor fi maxime si minime, cu ajutorul ecuatiei trigonometrice :

2θ = arctg

Coeficientul de pondere dreptunghiular este:

Q₁₂ = = -0.47

Se introduce in ecuatia de mai sus, rezultand

2θ = arctg =

Unghiul de orientare se considera de la sistemul de axe in care a fost determinat punctul nou, mai precis de la axa X.

In continuare, se calculeaza marimile semiaxelor elipselor de eroare. Mai intai se calculeaza coeficientul :

q = = 0.94

iar pe baza lui, marimile semiaxelor elipsei :

A = ± s₀ = ± 0.2131 dm. = ± 21.31mm

B = ± μ = ± 0.1143 = ± 11.43 mm

Pentru desenarea podarei (curba pedala) generata de elipsa erorilor, se calculeaza razele - vector ale podarei, cu ajutorul semiaxelor elipsei si pentru diferite valori ale unghiului ψ, facut de semiaxa mare cu raza - vector, cu formula :

S_ψ = , ψ [ 0^g , 400^g ]

Calculele se conduc in tabelul IV.14, pentu valori ale unghiului ψ din 10^g in 10^g . Podara fiind simetrica fata de axele elipsei erorilor, calculul razelor - vector se executa numai pentru unghiurile primului cadran si sunt exprimate in milimetri.

Tabelul 1.19

Constructia grafica a podarei elipsei erorilor la scara 3:1

Constructia grafica a podarei elipsei erorilor, numita si curba pedala sau curba erorilor medii patratice, se face la o scara supraunitara, in cazul de fata 3:1, pe baza orientarilor semiaxelor elipsei de eroare si ale datelor tabelului 1.19, in urmatoarea succesiune :

se considera pe plan punctul nou determinat si se duc axele sistemului initial

X,Y in care a fost determinat punctul ;

cu ajutorul unghiurilor de orientare θ si θ + 100^g, masurate fata de axa X, se

duc axele X_A si Y_A, care corespund directiilor de-a lungul carora erorile sunt maxime si minime. De-a lungul acestor axe, incepand din origine, se iau la scara 3:1 segmentele care corespund semiaxelor elipsei erorilor A = 21.31mm si B = 11.43 mm, obtinandu-se punctele a, pe axa X_A, si b, pe axa Y_A ;

se aplica fata de axa X_A, unghiurile ψ (10^g, 20^g, 30^g, . , 100^g) iar pe directiile

obtinute se aplica la scara lungimile razelor - vector (tabelul 1.19), obtinandu-se punctele c,d . ,k ;

se unesc punctele principale a si b cu punctele intermediare c,d, . ,k printr-o

curba plana, obtinandu-se curba podara pentru primul cadran.

In celelalte cadrane, constructia grafica a podarei se face pe baza simetriei,

in raport cu axele X_A si Y_A ;

Reprezentarea grafica a podarei elipsei erorilor a fost realizata in programul de grafica pe calculator, AutoCAD 2008.(figura 1.7 pentru punctul 2007).

Configuratia podarei elipsei erorilor este in functie de configuratia elipsei erorilor, de raportul celor doua semiaxe. Cand raportul este egal cu unitatea (A/B = 3), elipsa si podara degenereaza intr-un cerc de eroare. Pe masura ce raportul creste, aria podarei difera tot mai mult de aria elipsei. De asemenea, pentru elipse de aceeasi arie, dar de configuratie diferita, din cauza raportului semaixelor, ariile podarelor difera sensibil.

Prin masurare grafica, in progranul de grafica, se pot determina sau doar verifica, marimile erorilor medii ale coordonatelor compensate ale punctului, de-a lungul axelor de coordonate. Astfel, pentru eroarea s_x se masoara segmentul intre origine si punctul unde podara intersecteaza axa X; la fel, pentru eroarea s_y se masoara segmentul dintre punctul 2100 si punctul unde podara intersecteaza axa Y. Se obtin :

s_x = ± 0.06 mm.

s_y = ± 0.12 mm.

Valorile obtinute pe cale grafica, cu ajutorul podarelor sunt egale cu cele rezultate prin calcul la punctul , respectiv :

s_x = = 0.18 / 3 = ± 0.9 mm.

s_y = = 0.36 / 3 = ± 1.7 mm.

Raportul dintre erorile maxime si minime fiind A / B 2,90

Aria podarei elipsei erorilor caracterizeaza domeniul de situare a pozitiei probabile a punctului nou cu o probabilitate mai mare decat in cazul in care se considera aria elipsei erorilor.

Astfel, aria elipsei erorilor este de:

A_e = πAB =0.034mm

pe cand aria podarei generata de elipsa este de

A_p = = 0.056mm

Calculul erorilor medii patratice ale marimilor compensate ale orientarilor si

distantelor dintre punctul nou si punctele vechi.

In practica compensarii retelelor geodezice de triangulatie prin metoda masuratorilor indirecte, variatia coordonatelor, la calculul erorilor medii patratice ale functiilor de valorile compensate ale coordonatelor punctelor noi se foloseste expresia erorii unei functii de marimile compensate ale coordonatelor punctelor noi, sau chiar expresia erorii functiei de functii. Este cazul aflarii erorilor medii patratice ale orientarilor si distantelor dintre puncte.

a. Eroarea medie patratica a marimii compensate a orientarii a unei directii. Orientarea compensata a unei directii se exprima prin orientarea provizorie si corectiile coordonatelor (necunoscutele). Pentru orientarea directiei dintre un punct nou si un punct vechi, se considera relatia :

θ_2007-i = θ^o_2007-i + dθ_2007-i = θ^o_2007-i - a_i dx - b_i dy

Aceasta relatie corespunde formulei generale a unei functii de marimile compensate ale necunoscutelor :

F = f_o + f₁ dx +f₂ dy ,

unde coeficientii vor fi : f_o = θ^o_2007-i , f₁ = - a_i , f₂ = - b_i

Se calculeaza, mai intai, coeficientul de pondere al functiei (inversa ponderei) cu relatia folosind coeficientii de pondere ai necunoscutelor :

Q_θ = f₁² Q₁₁ + 2 f₁f₂ Q₁₂ + f₂² Q₂₂ = a_i² Q₁₁ + 2 a_ib_i Q₁₂ + b_i² Q₂₂

dupa care, se calculeaza eroarea medie patratica a orientarii compensate (a functiei) :

s_θ = ± s₀

Pentru toate directiile intre punctul nou si punctele vechi s-au calculat erorile medii patratice ale marimilor compensate ale orientarilor, rezultatele fiind cuprinse in tabelul 1. 20

Eroarea medie patratica a orientarii compensate a directiei se poate determina mult mai simplu, prin masurare grafica cu ajutorul curbei podare (Figura 1.7). Pentru aceeasi directie, din punctul 2007 ridica o perpendiculara pe directia 2007-1002 , care va intalni curba podara intr-un punct n, si se masoara grafic, in programul de grafica , segmentul 2007-n . Cunoscandu-se lungimea laturei (distanta provizorie) D^o_2007-1002, din tabelul 1.12, eroarea medie patratica a orientarii se va calcula cu formula :

s_θ = ± ρ^cc

Valoarea obtinuta este egala cu cea calculata analitic (tabelul 1.12), precizia determinarilor grafice fiind aceeasi cu cea din calculul analitic.

b.  Eroarea medie patratica a marimii unei distante compensate Distanta compensata dintre un punct nou si un punct vechi, se poate exprima prin distanta provizorie si corectiile coordonatelor, sub forma functiei :

=D_2007-i = D^o_2007-i + f '₁ dx + f '₂ dy = f '_o + f '₁ dx + f '₂ dy

unde : i= punct vechi, f '_o = D^o_2007-i - distanta provizorie, calculata in tabelul 2.11, iar ceilalti coeficienti constanti sunt dati de marimile derivatelor partiale in jurul valorii provizorii a distantei :

f'₁ = = - cos θ^o_{2007-i ­} ; f '₂ = = - sin θ^o_{2007-i ­}

Se calculeaza coeficientul de pondere al distantei considerate (al functiei), folosindu-se relatia cu coeficientii de pondere ai necunoscutelor :

Q_{D ­}= f '₁² Q₁₁ + 2 f '₁f '₂ Q₁₂ + f '₂² Q₂₂

Q_{D ­}= cos² θ^o_2007-i Q₁₁ + 2 cos θ^o_2007-i sin θ^o_2007-i Q₁₂ + sin² θ^o_2007-i Q₂₂

Eroarea medie patratica a distantei compensate (a functiei), va fi :

s_D = ± s₀

In acest mod s-a procedat pentru calculul erorilor medii ale tuturor distantelor compensate, rezultatele fiind prezentate in tabelul 1.21.

Erorile medii patratice ale distantelor compensate se pot obtine mult mai simplu, prin masurare grafica. Astfel, pentru distanta D_2007-1002, se masoara in programul de grafica, distanta de la origine (punctul 2007) la punctul o, unde podara intersecteaza directia spre punctul 1002. Astfel, se obtine :

s_D = / 3

valoare egala cu cea obtinuta prin calcul (s ), dar mai rapid.

In final, pentru distantele compensate, s-au calculat si erorile relative, cu relatia cunoscuta :

Er = = = = 1 : R ,

valorile obtinute fiind trecute in tabelul 1.21, coloana 6