Idealele si inelele factor ale inelului Z

Idealele si inelele factor ale inelului Z

Deoarece orice ideal este subgrup al grupului aditiv al inelului, rezulta ca idealele lui Z sunt printre subgrupurile grupului aditiv al lui Z, care, dupa cum stim, sunt de forma n Z, cu n ≥ 0. Se observa insa ca subgrupurile n Z ale lui Z sunt toate ideale ale lui Z, deci idealele lui Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv al lui Z si sunt toate ideale principale.

Suma a doua ideale n Z si m Z este idealul generat de cel mai mare di­vizor comun al numerelor m si n pe care il notam cu (n, m). In adevar, daca nZ + mZ = qZ, q ≥ 0, atunci din faptul ca n qZ si mqZ rezulta ca q divide pe n, respectiv m, adica q divide pe (n, m). Pe de alta parte, rezulta ca q = ns + mt, s,t Z, deci orice divizor comun al lui n si m divide si pe q. Asadar, (n, m) divide pe q, de unde rezulta egalitatea ceruta. In mod ana­log se arata ca nZ ∩ mZ [n, m]Z, unde am notat cu [n, m] cel mai mic multiplu comun al numerelor n si m. De asemenea, rezulta ca produsul idea­lelor nZ si mZ este generat de produsul nm. Reamintim ca doua numere intregi n, m se numesc prime intre ele (sau relativ prime) daca 1 este cel mai mare divizor comun al lor.

Din cele de mai sus rezulta ca inelele factor ale lui Z sunt de forma:

Zn = Z/nZ.

Acestea sunt inele comutative cu element unitate si Zn are n elemente pentru n > 0. Pentru n Z 0 este izomorf cu Z.

Vom demonstra cateva proprietati ale inelelor Zn precum si cateva aplicatii ale acestora.

Propozitia 3.1. In inelul Zn, n > 1, un element este inversabil daca si numai daca exista a Z, a relativ prim cu n, astfel incat p(a) unde   p : Z Zn este surjectia canonica. In particular, daca n este prim, orice element nenul din Zn este inversabil.

Demonstratie. A doua afirmatie a propozitiei rezulta din prima. Pentru a demonstra prima afirmatie vom observa ca daca a Z si are proprietatea ca este relativ prim cu n adica (a, n) = 1, atunci, pentru orice a' Z cu a' ≡ a mod n avem de asemenea (a',n) = 1. In adevar, daca un numar divide pe a' si n atunci el divide pe a, caci acesta are forma a'+ kn, cu k Z .Daca a este un reprezentant al lui si (a, n) = 1, atunci, dupa cum am observat mai sus, exista b, c Z astfel incat ab + nc = 1. Trecand aceasta relatie in Zn, se obtine ca p(b) = 1, deci p(b) este inversul lui . Reciproc sa presupunem ca Zn

este inversabil, deci exista β Zn astfel incat β = 1.Daca, a, b Z sunt astfel incat p(a) = p(b) = β, atunci rezulta ca ab mod n,de unde rezulta ca (a, n)

Propozitia 3.2. Fie m,n > 1 numere intregi, prime intre ele. Atunci inelul Zn Zm este izomorf cu Zmn.

Demonstratie. Fie pm : Z Zm, pn : Z Zn, pmn : Z Zmn, surjectiile canonice si p' : Z Zm Zn aplicatia definita prin p'( a )=( pm( a ), pn( a)). Aplicatia p' este un morfism de inele, dupa cum se verifica cu usurinta, iar Ker p' = mn Z .In adevar, mn Z Ker p'.  

Fie x Ker p'. Atunci pm( ) = 0 si pn( ) = 0, deci se divide cu m si cu n si cum (m,n) = 1 rezulta ca x se divide cu produsul mn , adica mn Z si Ker p' mn Z . Din propozitia 2.7 rezulta ca exista un morfism injectiv de inele p : Zmn Zm x Zn si.deoarece inelele Zmn si Zm x Zn au acelasi numar de elemente. rezulta ca p este si surjectiv.

Fie φ ׃ N N functia definita prin:

φ(0) = 0, φ(1) = 1 si φ(n) = numarul numerelor naturale nenule, prime cu n si mai mici decat n, pentru n > 1 . Aplicatia φ se numeste funcsia lui Euler sau indicatorul lui Euler. Din propozitia 3.1 rezulta ca Zn coincide cu numarul elementelor inversabile din inelul Zn, daca n ≥ 1.

Propozitia 3.4. Daca m si n sunt numere naturale prime intre ele, atunci φ(mn) = φ(m) φ(n).

Demonstratie. Daca unul din numerele m, n este nul,afirmatia este evidenta. In caz contrar, φ(mn) coincide cu numarul elementelor inversabile din inelul Zm x Zn dupa cum rezulta din propozitia precedenta. Acum afirmatia propozitiei rezulta din lema care urmeaza si a carei demonstratie este imediata.

Lema 3.5. Fie A si B doua inele unitare. Notam cu A*, B* si (AxB )* respectiv, grupul multiplicativ al elementelor inversabile din A, B si AxB. Atunci exista egalitatea (AxB )* = A* x B*.

Propozitia 3.6. Fie n > 1 un numar intreg si n = .descompunerea sa in produs de numere prime, unde ,,. sunt numere prime distincte. Atunci φ(n) = ( 1 - ) ( 1 - ) .. ( 1 - ).

Demonstratie Din propozitia 3.4 rezulta ca φ(n) = φ( φ()φ( ) Atunci este suficient sa aratam ca φ() , ceea ce rezulta din faptul ca numerele naturale mai mici decat si care se divid cu sunt in numar de  , anume 0, ,2,.,(-1) ,,,()

Propozitia 3.7 ( Teorema lui Euler). Daca a si n>0 sunt numere intregi prime intre ele, atunci

Demonstratie. Deoarece grupul multiplicativ al elementelor inversabile din are ordinul , iar clasa a a lui a apartine acestui grup, rezulta ca =, relatie care este echivalenta cu afirmatia propozitiei.

Pentru n numar prim, avem (n)=n-1   si se obtine din propozitia precedenta urmatorul corolar cunoscut sub numele de Teorema lui Fermat sau mica teorema a lui Fermat.

Corolarul 3.8 Daca p>1 este un numar intreg prim si a un intreg care nu se divide cu p ,atunci