Problema Cauchy abstracta

Problema Cauchy abstracta

1 Solutii clasice si moderate. Proprietati.

Fie X un spatiu Banach real sau complex , S = un C- semigrup si

A : D(A) X X generatorul sau infinitezimal.

Pentru fiecare problema Cauchy omogena

are o unica solutie

x(t) = S(t) .

In continuare studiem problema Cauchy neomogena descrisa de sistemul

(S)

unde T ( 0,], f : [ 0,T ) X , .

Definitia 1.1. O functie x : [0,T ) X se numeste solutie clasica pentru sistemul (S) daca indeplineste urmatoarele conditii :

(i) x este continua pe [ 0, T) si de clasa pe ( 0, T);

(ii) x(t) D(A) , pentru orice

(iii) x verifica sistemul (S).

Fie p [ 1, ) , a, b R , a < b. Consideram spatiul liniar

al functiilor f : [a , b] X masurabile Bochner cu proprietatea ca ds < , care este spatiul Banach in raport cu norma

.

Similar consideram spatiul liniar L al functiilor f : X masurabile Bochner cu ds < , care este spatiu Banach in raport cu norma

.

Definitia 1.2. Fie T si f : [0,T) X o functie masurabila f se zice local masurabila si notam f daca pentru orice t (0 ,T ) avem

f .

In continuare , vom studia solutiile sistemului (S) in ipoteza ca f .

Teorema 1.1. Daca x este solutie pentru sistemul (S), atunci

x(t) = S(t)x + ds, .

Demonstratie . Fie t (0,T). Consideram functia

: [0,t] X , g(s) = S()x(s) .

Atunci g este derivabila pe (0,t) si avem ca

(s)=, .

Integrand pe [0,t] rezulta ca

ds = g x(t)

care incheie demonstratia .

Corolarul 1.1. Sistemul (S) are cel mult o solutie clasica.

Demonstratie. Se obtine imediat din Teorema 1.1.

Reprezentarea solutiei clasice data de Teorema 1.1. permite introducerea unui alt concept de solutie pentru problema Cauchy neomogena.

Definitia 1.3. Fie si f . Functia x : [0,T) X

data de relatia

,

se numeste solutie moderata (mild) a sistemului (S).

Teorema urmatoare ne da o proprietate importanta a solutiei moderate.

Teorema 1.2. Daca x : [0,T) X este solutia moderata a sistemului (S) atunci x este continua pe [0,T

Demonstratie. Fie t si astfel incat t + < T . Pentru h [0, ) avem ca

(2.1)

Avand in vedere ca

ramane sa demonstram ca

    (2.2)

Fie () cu . Pentru fiecare n , consideram functia

,

Atunci este masurabila si pentru orice .

Daca M , sunt dati de Teorema I.1.1 pentru S , deducem ca

, .

Cum f rezulta ca f . Din teorema convergentei dominate a lui Lebesgue , deducem ca

ds

Dar

ds = ds , .

Rezulta ca

ds , pentru ,

si atunci din Teorema lui Heine se obtine relatia (2.2) . Astfel , tinand seama de relatia (2.2) si trecand la limita in relatia (2.1) deducem ca x este continua la dreapta in t .

Fie t > 0 si > 0 astfel incat . Pentru avem

ds. (2.3)

Fie () [0,) cu . Pentru fiecare , consideram functia

.

Atunci , este masurabila si = 0 , pentru orice . In plus avem ca

, .

Din f deducem ca f . Din teorema convergentei dominate a lui Lebesgue , obtinem ca

.

De aici si din Teorema lui Heine rezulta ca

, pentru (2.4)

Din (2.3) si (2.4) avem ca x este continua la stanga in t . Deci x este continua pe [0,T

2 Conditii necesare ca o solutie moderata sa fie clasica

Remarca 2.1. In general , chiar daca f este continua pe [0,T) , nu rezulta ca solutia moderata este solutia clasica.

Exemplul 2.1. Fie cu proprietatea ca S(t) D(A) , pentru orice . Consideram sistemul

unde f(t) = S(t)x , pentru orice t > 0. Atunci avem ca f este continua pe si x(0) = 0 D(A). Cu toate acestea , solutia moderata are expresia

,  ,

deci D(A), pentru orice t > 0 .

Rezulta ca solutia moderata nu este solutie clasica . Conform Teoremei 1.1. , obtinem de aici ca sisteml (S) nu are solutie clasica .

Are sens sa ne punem urmatoarea intrebare :

Problema : In ce conditii solutia mild este solutie clasica ?

Teorema 2.2. Fie

ds .

Daca x f este continua pe [0,T) si este o aplicatie de clasa Cpe (0,T), atunci solutia moderata a sistemului (S) este solutia clasica.

Demonstratie. Fie x solutia moderata a sistemului (S) , care conform Teoremei 1.2 este continua . Fie

    u(t)=S(t)x .

Rezulta ca

x(t)=u(t)+v(t),   

Din avem ca u este de clasa pe Tinand seama de ipoteza deducem ca x este de clasa pe (0,T). In plus, din x D(A) obtinem ca u(t) D(A), pentru orice t (0,T).

Aratam ca v(t) D(A), pentru orice t (0,T).

Fie t (0,T). Avem succesiv ca

  (2.5)

Demonstram ca

   (2.6)

Fie M,> 0, dati de Teorema I.1.1. pentru S. Fie > 0. Din f continua pe [0,T) exista > 0 astfel incat

Din exista > 0 astfel incat

Fie = min . Pentru avem ca

+

+

de unde obtinem relatia (2.6). Atunci , din (2.5) si (2.6) si ipoteza rezulta

Deci , v(t) si

Av(t) ,   

Deducem de aici ca x(t) D(A), pentru orice t.

Din avem ca

.

Atunci , rezulta ca

In plus , x(0)=u(0)+v(0)=x, deci x verifica sistemul (S).

Teorema 2.3. Daca x si f este o functie de clasa pe [0,T), atunci sistemul (S) are o unica solutie classica.

Demonstratie. Conform Teoremei 2.2. este suficient sa demonstram ca functia

v : [0,T)

este de clasa pe (0,T).

Fie t >0 . Avem succesiv ca

+

Reluand rationamentul facut in demonstratia Teoremei 1.3. si tinand seama de faptul ca f este continua, obtinem ca

de unde deducem ca

=S(t)

Ramane sa aratam ca

    (2.9)

Fie > 0 astfel incat si () cu

Pentru fiecare consideram functia

Atunci este masurabila si pentru orice .

Fie si dati de Teorema I.1.1. pentru S.

Pentru fiecare si fiecare exista astfel incat

.

Rezulta ca

,

Din teorema convergentei dominate a lui Lebesgue deducem ca

Atunci din teorema lui Heine obtinem ca exista

Procedand in mod analog obtinem ca

.

Rezulta ca v este derivabila pe (0,T) si

ds.e de clasa

Cum f este de clasa pe [0,T) deducem de mai sus ca este continua pe [0,T), deci v este de clasa pe (0,T).Din Teorema 2.3. si Corolarul 1.1. concluzionam ca sistemul (S) are o unica solutie clasica.

Bibliografie

1. Buse, C. - Comportari asimptotice ale proceselor de evolutie, Editura Sedona, Timisoara, 1988;

2. Cristescu, K. - Analiza functionala, Editura Didactica ;

3. Curtain, R; Zwart, H. J. - An Introduction to Infinite Dimensional Linear Control

Systems Theory, Springer Verlag , New York, 1995 ;

4. Curtain, R; Pritchard, A.J. - Functional Analysis in Modern Applied Mathematics, Mathematics in Science and Engineering 132, Academic Press 1977;

5. Engel , K. J.; Nagel, R. - One- Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, vol 194, Berlin 2000;

6. Gaspar, D.- Analiza functionala, Editura Facla, Timisoara 1981;

7. Hille, E; Phillips , R. S. - Functional Analysis and Semi-groups American Mathematical Society, Colloquium Publications Vol 31, Providence, R. I. 1957;

8. Gheorghiu, N.- Introducere in analiza functionala, Editura Academiei RSR, Bucuresti 1974;

9. von Neerven, J. M. A. M.- The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Operator Theory Advanced and Applications, vol 88, Birkhäuser, Bassel 1996;

10. Pazy, A. - Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer Verlag, 1983;

11. Sasu, A. L. . Sasu, B.- Sisteme liniare cu control, Editura Politehnica Timisoara 2003;

12. Yosida, K- Functional Analysis, Springer Verlag, 1993.