Sisteme cuantice unidimensinale

Sisteme cuantice unidimensinale

Vom studia miscarea unei particule de masa m in care se deplaseaza pe axa ox intr-un potential V(x) . Ecuatia sa Schrodinger este :

In cazul stationar in care energia sistemului este E , functia de unda este :

unde satisface ecuatia Schrodiger atemporala :

Vom studia mai intai cazul unei particule libere V(x)=constant

1. Particula libera

In absenta fortelor exterioare energia potentiala este o constanta pe care o putem alege zero . Ecuatia Schrodinger atemporala devine :

sau

  

Energia particulei libere fiind pozitiva , putem nota si ecuatia devine :

Aceasta ecuatie are ca solutii liniar independente si sau, echivalent, perechea de solutii reale si Solutia generala a ecuatiei va fi:

unde A si B sunt constante arbitrare.

Functia de unda ; , este suma a doi termeni dintre care primul exprima o unda plana alergand in sensul pozitiv al axei x (cu amplitudinea A, pulsatia si vectorul de unda ), iar al doilea, o unda plana regresiva, care se deplaseaza in sensul opus al axei ox. Calculand densitatea de probabilitate P si j-densitatea de curent de probabilitate, obtinem :

si

Densitatea de probabilitate arata interferenta a doua unde concurente care determinata o periodicitate spatiala iar densitatea de curent este diferenta intre doi curenti de probabilitate opusi.

In cazul si unda plana monocromatica progresiva descrie o particula care se misca in sensul axei x:

Daca A=0 si B0, avem o unda plana regresiva care se3 misca in sensul negativ al axei ox:

Din obtinem si de aici: este viteza clasica a particulei. Acesta difera de viteza de faza a undei, deformata de :

si este egala cu viteza de grupa undei, deformata de :

Observam ca, pentru particulele cu energie (si deci impuls) bine deformata nu stim nimic despre localizare: densitatea de probabilitate de localizare sau este aceeasi pe toata axa, nefavorizand nici o pozitie. Aceasta este in acord cu principiul de incertitudine (cunoasterea precisa a impulsului conduce necunoasterea pozitiei ).

2. Pachete de unde

Undele plane asociate particulelor libere cu impuls definit sunt complet delocalizate. Pentru a desemna o particula libera care apartine unei regiuni restranse din spatiu se poate forma un pachet de unde, suprapunand unde plane cu diferite numere de unda (impulsul particulei va fi cuprins acum intr-un interval, pierzandu-si precizia). Cea mai generala suprapunere de acest tip este data de integrala:

unde sunt solutii ale ecuatiei Schrődinger atemporale, unde plane corespund unui numar de unda k si deci unui impuls definit. Pentru ca integrala sa fie convergenta trebuie ca functia amplitudine sa tinda la zona mai repede decat atunci conditia .

Vom construi un pachet de unde care sa desemne o particula care poseda impulsul si la este situata intr-un mic interval centrat in punctul

Pentru aceasta alegem :

deoarece densitatea de probabilitate.

localizeaza particula in interiorul iar densitatea de curent de probabilitate devine:

astfel incat viteza particulei este si este impulsul pachetului de unde. Deoarece functia de unda reprezinta o particula, conditia de

conduce la

Revenind la formula generala :

observam ca aceasta este o integrala Fourier a carei inversa este :

Utilizand formula : , afla ca:

Dupa ce am determinat cu ajutorul starii initiale , vom aduna functia de unda la orice moment :

Deoarece exponentul este o form[ p[tratic[ de , utilizand iar relatia : , gasim :

Densitatea de probabilitate de localizare devine :

Ea prezinta un maxim care s-a deplasat din in . Spunem sa pachetul de unde se deplaseaza cu viteza (viteza de grup = viteza particulei) . Numitorul exponentului din expresia lui ne arata ca pachetul de unda s-a largit de la valoarea la la :

, la momentul .

Densitatea de curent de probabilitate se deduce cu ajutorul relasiei :

, calculele conducand la :

.

Rezulta ca relatia valabila la nu se pastreaza in timp , consecinta a largiri finite a spectrului vitezelor . Daca in centrul pachetului de unde relatia este valabila , pentru gasim ca deoarece in aceste puncte sosesc la momentul acele parti ale pachetuli de unde care se misca cu o viteza mai mica (mare) decat . Se mai poate verifica faptul ca relatia de normare ramane variabila la orice moment , consecinta a conservarii numarului de particule .

Particula in groapa de potential infinita

Daca pentru o particula libera energia are spectru continu (adica poate lua orice valoare pozitiva) , in cazul particulelor restranse sa se naste doar an anumite regiuni ale spatiului (particule aflate in stari legate) energia va avea un spectru discret . O particula dezlegata sa se mste liber pe axa doar intre punctele si unde se afla pereti inpenetrabili este numita particula in groapa de potential infinita :

Cautand starile stationare , adica solutiile ecuatiei Schrödiger atemporiale :

cu conditiile de continuitate , deoarece acolo unde , vom gasi :

precum si nivelele discrete ale energiei (cuantificate) .

4 Groapa de potential dreptunghiulara (de adancime finita).

In acest caz

Ecuatia Schrödinger atemporala : devine :

daca si daca , unde si sunt continuie in si unde si se obtine solutia :

Nivelele energetice ale starilor legate parc se determina prin rezolvarea numerica sau grfica a ecuatiei transecundante . Numarul de solutii creste cu si exista cel putin o solutie daca . Energia corespunzatoare este : .

5. Treapta de potential

Particula se msca pe axa in prezenta potentialului

Daca si notam si ecuatia de unda in , ne ofera solutia :

unde si

este probabilitatea ca o particula sa fie reflectata si este egala cu .

Daca si notam si rezolvand ecuatiile Schrödinger atemporale si impunand continuitatea in , gasim :

cu si este probabilitatea ca o particula sa fie reflectata si observam ca ea se anuleaza doar cand (limita clonica). este probabilitatea ca o particula sa fie gasita tn regiunea iar este coeficientul de transmisie al trapei de potential .

6. Efectul tunel

Particula se misca pe axa in prezenta potentialului

In cazul in care energia este mai mica decat inaltimea barierei de potential, , o particula este intotdeauna reflectata. Vom arata ca in cazul unei partcule cuantice exista o probabilitate nenula ca ea sa traverseze bariera chiar daca , probabilitate cu atat mai mare cu cat largirea barierei este mai mica si cu cat diferenta este mai mica. Acest efect cuantic se numeste efect tunel. Notand si in ecuatia Schrödinger atemporala gasim solutia :

Impunand conditia de continuitate in , gasim:

si probabilitatea de tunelare :

In functie de masa particulei, si aceasta probabilitate are valori intr-un domeniu foarte larg. Asfel timpul de ijumatasire pemrtu dezintegrarea a moleculelor grele are valori cuprinse intre secunde si ani.

7. Oscilatorul liniar armonic

Punctul material de masa se misca pe axa in prezenta unei forte de tip elastic, avand energia potentiala . Ecuatia Schrödinger atemporala :

capata o forma mai simpla daca facem substitutiile :

si ,

Cand ecuatia asimtotica devine : si admite solutiile

. Retinem solutia deoarece este marginita si cautam pentru ecuatia o solutie de forma : .

Introducand in ecuatie obtinem pentru ecuatia diferentiala:

numita ecuatia Hermite. Punand obtinem relatia de recurenta a coeficientilor :

Cerand ca seria de puteri sa devina un polinom pentru ca functia de unda sa ramana marginita si notand cu valoarea maxima a lui avem :

sau

expresie care ne ufera nivelele energetice cuantificate ale oscilatorului. reprezinta energia de zero a oscilatorului. Functiile .

Avem :

Functiile proprii ale oscilatorului armonic liniar sunt :, unde este un factor de normare.