Metoda grafo-analitica de integrare a ecuatiei diferentiale de ordinul al II-lea a fibrei medii deformate

Metoda grafo-analitica de integrare a ecuatiei diferentiale de ordinul al II-lea a fibrei medii deformate

Fie bara din figura 16 , incarcata cu o sarcina distribuita oarecare, ecuatia fibrei medii deformate este :; prin integrare se va obtine, ;

= A_ox , reprezinta aria diagramei de

momente incovoietoare pe portiunea o-x care se noteaza cu A_ox . Implica relatia, ; constanta C se calculeaza

Figura 16

din conditia initiala a lui Cauchy,

; ;

; A₀₀ = 0 ;; se integreza inca o data si vom obtine: .

Acum se integreaza prin parti ; f ( x ) = A_ox ; ; dg = dx ; ; g ( x ) = x ; formula de integrare prin parti este: ;

; cum din figura 16 , reiese ca

x = a₁ + a₂ , iar reprezinta momentul static al suprafetei

diagramei de momente incovoietoare de pe portiunea o-x fata de origine, deci = a₁ A_ox ; unde x = a₁ + a₂

.

reprezinta momentul static al suprafetei

diagramei de momente incovoietoare de pe portiunea o-x fata de sectiunea ( x ) .; constanta( D ) se afla din conditia initiala a lui Cauchy : ; ;

D = v₀ . E I_z ; .

Figura 17

Aceasta metoda este o combinatie intre metoda grafica si cea analitica , dar pentru expresii mai dificile ale sarcinii distribuite de incarcare q(x) = f(x), devine mai greu de aplicat, metoda aceasta ajuta la demonstrarea ecuatiei celor trei momente ( ecuatia lui Clapeyron ) , care este folosita la rezolvarea grinzilor continuie.

Problema nr. 7

Sa se calculeze sageata si rotirea sectiunii transversale din punctul Q ,pentru bara din figura 20, stiind ca : E = 2,1 .10⁵ N/mm²; l = 0,43 m avand sectiunea transversala circulara inelara cu d=40 mm si D = 50 mm.

Rezolvare:

;

Aflam fortele de reactiune V_A si V_B din conditiile de echilibru:

;   V_A - 1 kN + V_B = 0 ; ecuatia de verificare.

; ;

; ; ;

V_A - 1 kN + V_B = 0 ; ecuatia de verificare, 2,8125 kN - 1 kN - 1,8125 kN = 0 ; 0 = 0 este indeplinita ecuatia de verificare , deci s-au calculat corect fortele de reactiune .

Deoarece V_B = - 1,8125 kN , se schimba sensul, acest lucru nu este

obligatoriu.

Regiunea intai

; ; ;

Figura 18

Regiunea a II-a

; ;

;

Figura 19

Figura 20

Regiunea a III-a

; ;

;

.

Se ia ca origine unul din capetele barei A - O, aceasta origine trebuie sa ramana neschimbata pe tot timpul rezolvarii problemei.

;    ; dar v₀ = 0 in cazul nostru, ; pentru a afla pe φ₀ ( rotirea sectiunii transversale in origine ) folosim a II-a conditie de reazem, anume sageata in B este egala cu zero ( v_B = 0 ) .

Figura 21

.

S-a desfacut trapezul dreptunghic intr-un triunghi si un dreptunghi, conform principiului suprapunerii efectelor.

.

Pentru a afla sageata si rotirea sectiunii transversale din punctul Q , trebuie sa tinem cont de originea care se afla in A= O.

; pentru Q avem :

; ;

;

;

;

;

Problema nr.8

Sa se calculeze sageata si rotirea sectiunii transversale din punctul Q , pentru bara din figura 22 , stiind ca :

E = 2,1.10⁵ N/mm² ; P = 2 kN ; l = 0,63 m cu sectiunea transversala din figura 23.

Rezolvare:

Aflam fortele de raectiune V_A si V_B din conditiile de echilibru:

; V_A + V_B = P ; ecuatia de verificare.

; P.l - V_B .4l = 0 ; .

; -3l. P. + V_A .4l = 0 ; ; ;

V_A + V_B = P ; ecuatia de verificare ; ; P = P , este indeplinita ecuatia de verificare, deci s-au calculat corect fortele de reactiune .

Figura 22

Se calculeaza mai intai caracteristicile sectiunii transversale, apoi se calculeaza si celelalte date ale problemei.

Figura 23