Modele neliniare

Modele neliniare

Foarte multe relatii dintre variabilele economice analizate in teoria economica sunt descrise ca avand o forma neliniara. Varietatea relatiilor de acest tip prezinta importanta atat din perspectiva estimarii (fiind mai "aproape" de realitate) cat si din cea a prognozelor pe termen mediu si, mai ales, lung. In continuare prezentam cele mai importante modele neliniare din literatura de specialitate.

Determinarea pretului de maximizare a profitului

Economistii au elaborat un model de stabilire a pretului pentru ca acesta sa contribuie la maximizarea profitului. Se pleaca de la ideea ca firma respectiva cunoaste care sunt functiile cererii si costului produsului in cauza. Daca in urma analizei de regresie ecuatia cererii are forma

iar functia costului ce descrie costul total C al producerii cantitatii Q intr-o perioada de timp este de tip liniar:

unde F este costul total fix si v - costul variabil pe unitatea de produs si tinand cont ca ecuatia venitului total V este:

unde P - pretul practicat, Q - cantitatea vanduta si profitul total Z

firma poate determina raportul dintre profit si pret astfel

Deci, profitul total net este o ecuatie de gradul doi ce are ca necunoscuta pretul. Maximul se atinge in punctul

Modele GARCH pentru analiza riscului de portofoliu

Modelele GARCH (G - generalizat, AR - autoregresiv, C - conditional, H - heteroschedasticitate) au fost proiectate pentru a modela serii economice ce nu urmeaza o distributie normala. In cadrul acestor serii exista o abatere larga a valorilor extreme de la media lor, unele fiind chiar asimetrice, ele prezentand si o evolutie neuniforma a dispersiei de-a lungul perioadei de timp analizate. Primul astfel de model a fost realizat de catre Robert Eagle in 1982. El cuprinde o ecuatie pentru medie si una pentru dispersie, respectiv [11,pag.4]:

unde yt este variabila dependenta in perioada curenta, x_t - variabila independenta in perioada curenta, - coeficientul care arata influenta variabilei independente asupra variabilei dependente, - termeni reziduali in perioada curenta, - dispersia variabilei dependente in periada curenta, - constanta ecuatiei dispersiei, α - coeficientul ARCH, - termeni reziduali din perioada precedenta, - dispersia variabilei dependente in perioada precedenta, β - coeficient GARCH.

O prezentare generalizata a acestui model poate fi gasita in [31,pag.480].

Un alt model asemanator, a fost introdus de Nelson in 1991:

iar efectul de levier poate fi testat prin testarea inegalitatii . Sa remarcam ca logaritmul transfera modelul intr-unul neliniar.

Modelul lui Goodwin de repartitie a venitului

Sa consideram o economie constand din muncitori si capitalisti si sa presupunem ca muncitorii isi cheltuiesc toate veniturile. Iata definitiile si relatiile care descriu cadrul economic de lucru, in care preturile au fost normalizate la unitate,

- productie (realizarile economiei); - munca (identificata cu muncitorii); - capital investit (identificat cu capitalistii); - salariu (identificat cu salariul mediu lunar); - pret produse (bunuri); , - constanta - productivitatea muncii; - venitul muncii (venitul muncitorilor); - partea muncii din venit (partea muncitorilor din venit); - venitul capitalistilor; - partea capitalistilor din venit; - economii; (constanti) - raportul capital-productie; , - constanti - numar de muncitori; - rata de ocupare a fortei de munca; Presupunand ca investitiile egaleaza economiile, atunci cresterea stocului de capital este de forma . Rata de crestere a stocului de capital este egala cu rata de crestere a venitului atunci cand raportul capital-productie este constant. Cunoscand productivitatea muncii, , se poate determina forta de munca , necesara unei productii , prin formula . Logaritmand si diferentiind aceasta formula obtinem . Rezumand, avem urmatoarele rate de crestere folosite in model: , , , .

Variabilele de stare in modelul lui Goodwin sunt: rata de ocupare a fortei de munca si partea muncitorilor de venit . Pentru a deduce ecuatiile in si sa luam in considerare doar evolutia ratei de ocupare a fortei de munca. Logaritmand, diferentiind si efectuand calculele in expresia lui obtinem . Efectuand aceleasi prelucrari si in expresia lui obtinem . Goodwin presupune ca salariul muncitorilor evolueaza conform curbei standard a lui Philips, adica , in care verifica conditiile , si . Pentru simplicitate aceasta curba este aproximata cu o linie , deci evolutia partii din venit ce revine muncitorilor capata expresia . De aici deducem imediat: . Prin urmare tinand seama de toate ipotezele de mai sus, evolutia ratei de ocupare a fortei de munca si a partii din venit ce revine muncitorilor este descrisa de s.e.d.o. de forma

unde , , , .

Problema Cauchy pentru acest sistem poate fi asociata unui sistem dinamic bidimensional cu neliniaritati patratice care depinde de patru parametri reali. El este cunoscut sub numele de modelul lui Goodwin. Acest model are pentru majoritatea valorilor parametrilor doua echilibre, pentru o alta multime de masura nula avand un singur echilibru. De asemenea el poseda si un ciclu limita.

Modelul lui Denenbourg, de Palma si Kahn (1979)

Acest model descrie alegerea dinamica a unei modalitati de transport.

Fie - numarul de drumuri. Daca atunci modelul este dat de unde . Punand , dinamica depinde de fiecare . Daca presupunem ca sunt proportionale cu vitezele si ca nu exista interactiuni intre cele doua (fie masina si autobuz), atunci avem , . Daca, in plus, atunci dinamica modalitatii de transport este data de

Model de crestere cu rata de ajustare

Sistemul descrie interactiunea dinamica dintre rata de crestere si sistemul de asigurari sociale. Este considerat cazul in care viteza de ajustare a ratei de crestere este optima dar nu prea rapida. El are forma

unde - rata de crestere, - viteza de ajustare, - viteza de consum, - cresterea raportului capital-productie, - valoarea totala a productiei.

trebuie sa fie negativ cand este pozitiv; - capacitatea, - valoarea totala a capacitatii.