Calculul integralelor definite

Calculul integralelor definite

cu ajutorul formulei Leibnitz-Newton, presupune cunoașterea unei primitive a funcției f. In foarte multe cazuri calculul primitivelor este foarte complicat (uneori imposibil) și nu pot fi obținute prin metode elementare.

Uneori in practica, funcția f nu este cunoscuta sub forma analitica, ci se cunosc valorile sale intr-o rețea de puncte .

In aceste cazuri problema determinarii unei primitive nu mai are sens.

Din aceste motive metodele numerice de aproximare a integralelor au o deosebita importanța.

Voi incepe cu formulele de calcul numeric pentru integralele simple. Procedeul folosit pentru determinarea formulelor de calcul numeric consta in inlocuirea funcției date f printr-o funcție de aproximare g, pentru care se pot calcula primitive. Daca funcția f se cunoaște analitic, atunci se poate evalua și eroarea de aproximare:

R(f)=

Voi prezenta in continuare o metoda de deducere a unor formule de integrare numerica folosind polinoamele de interpolare.

Sa presupunem ca se cunosc valorile , in punctele x,x,,x

In acest caz, in rolul funcției g putem lua polinomul de interpolare al lui Lagrange:

L(x)=

Obținem formula de calcul:

unde

A

iar R(f) este eroarea de aproximare (restul).

Daca limitele de integrare a și b sunt puncte de interpolare, formula (4) se numește formula de integrare numerica de tip inchis. In caz contrar, se numește formula de integrare numerica de tip deschis.

Pentru calculul coeficienților A observam ca:

numerele A nu depind de funcția f;

pentru polinoame de grad cel mult n, formula (4) este exacta (R(f)=0), deoarece in acest caz L=f.

Pentru f(x)= x in (4) avem R(f)=0. Obținem:

Acest sistem este liniar neomogen, cu n+1 ecuații și n+1 necunoscute: A,A,,A.

Determinantul acestui sistem este:

D==

Nodurile fiind distincte, rezulta D. Așadar, numerele A,A,,A sunt unic determinate.

Aceasta metoda de integrare numerica nu presupune calculul efectiv al polinomului de interpolare al lui Lagrange.

Exemplu. Sa se deduca formula (4) pentru cu n=2, x , x=0, x

Soluție. Sistemul (6) este in acest caz urmatorul:

Acest sistem are soluția: A=A=3, A=-4.

Rezulta formula:

Formula (7) este de tip deschis și este exacta pentru polinoame de grad cel mult doi. Se observa ușor ca aceasta formula este exacta și pentru polinoame de gradul trei (pentru f(x)=x ambii membri sunt nuli) .