Convergenta metodei aproximatiei succesive pentru ecuatia

Convergenta metodei aproximatiei succesive pentru ecuatia

Sa aplicam rezultatul demonstrat la studiul convergentei metodei aproximatiilor succesive pentru ecuatia

  (15)

Deoarece convergenta seriei

  (16)

asigura convergenta metodei aproximatiilor succesive pentru orice aproximatie initiala cu care se incepe procesul de aproximare succesiva. Punand in relatia (14) ajungem la urmatorul criteriu de convergenta a metodei aproximatiilor succesive pentru relatia (15)

Teorema III.4.1. Daca spectrul operatorului U se afla in discul atunci metoda aproximatiilor succesive pentru ecuatia (15) converge pentru orice si orice aproximare initiala Daca insa exista puncte de spectru in afara discului atunci exista o multime rezidualaastfel incat pentru procesul de aproximatii succesive pentru ecuatia (15) incepe de la O, diverge

Avem de demonstrat doar partea a doua a teoremei. Sa observam ca in acest caz

deci

  (17)

pentru toti cu exceptia poate, a unei multimi G de prima categorie in X. Dar convergenta procesului de aprximatii succesive inceput de la este echivalenta cu convergenta seriei

iar conform relatiei (17) aceasta serie diverge daca

Observatie. Daca operatorul U este astfel incat toate punctele diferite de O ale spectrului sau sunt valori proprii atunci teorema poate fi data intr-o forma mai precisa. Anume in acest caz , pentru convergenta metodei aproximatiilor succesive este necesar si suficient ca toate valorile proprii ale operatorului U sa se afle in discul

Intradevar conform teoremei demonstrate , daca metoda aproximatiilor succesive converge, spectrul operatorului U se afla in discul . Daca presupunem ca exista o valoare proprie pe cercul atunci punand in ecuatia (15) unde este un vector propriu corespunzator valorii proprii si alegand abtinem urmatoarea expresie pentru aproximatia de ordin n

care nu are limita.

Observatie. Rezultatul teoremei si primei observati se simplifica considerabil daca operatorul U din ecuatia (15) este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert. Tinand cont de a doua observatia din sectiunea III.3. avem in acest caz : pentru convergenta metodei aproximatiilor succesive pentru ecuatia (15) este suficient ca Daca toate punctele diferite de zero ale spectrului sunt valori proprii, atunci aceasta conditie este si necesara.

Sa reformulam teorema III.4.1 in termeni de multime caracteristica.

Teorema III.4.1' Daca multimea caracteristica a operatorului U se afla in discul metoda aproximarilor succesive pentru ecuatia (15) converge spre orice si orice aproximatie initiala Daca in discul se gasesc puncte ale multimii caracteristice , atunci exista a multime reziduala astfel incat daca procesul de aproximare succesiva inceput de la diverge. In legatura cu aceasta teorema se pot face observatii analoage observatiilor anterioare.