Filtrul Kalman

Acest capitol completeaza studiul filtrelor optimale lineare prin trecerea in revista a fundamentelor filtrarii Kalman. O caracteristica deosebita a unui filtru Kalman este faptul ca pentru descrierea sa matematica se utilizeaza conceptul de spatiu al starilor. O alta trasatura care deosebeste filtrul Kalman de filtrul optimal linear este faptul ca solutia sa se calculeaza recursiv. In particular, fiecare noua estimare a starii se calculeaza pe baza estimarii anterioare si a noii valori a marimii de intrare, astfel incat numai ultima estimare trebuie memorata. Aceasta caracteristica reduce volumul de calcul necesar implementarii filtrului Kalman pe un calculator electronic. In consecinta, filtrele Kalman au fost implementate cu succes in multe aplicatii practice, in particular in industria aeronautica si spatiala.

Atentia pe care o acordam filtrelor Kalman se justifica prin aceea ca ele ofera un cadru unitar pentru fundamentarea matematica a filtrelor adaptive ce se bazeaza pe calcul recursiv. In ceea ce priveste reprezentarea prin spatiul starilor, pe langa numeroase aspecte favorabile care vor fi evidentiate in continuare, aceasta se bucura de avantajele utilizarii metodelor algebrei lineare ceea ce permite punerea in evidenta a unor proprietati remarcabile.

Ecuatii de stare pentru sisteme lineare in timp discret

Se considera un sistem dinamic linear in timp discret descris de graful de semnal din Fig. 11. . Reprezentarea sistemului in domeniul timp utilizata aici ofera urmatoarele avantaje:

este convenabila din punct de vedere matematic si al notatiilor utilizate

are o puternica legatura cu realitatea fizica

constituie o baza utila pentru evidentierea comportarii statistice a sistemului

Notiunea de stare joaca un rol esential in aceasta reprezentare. Vectorul de stare de dimensiune desemnat prin in Fig. 11. se defineste ca orice ansamblu de marimi suficiente pentru a descrie comportarea dinamica nefortata a sistemului la momente de timp . Cu alte cuvinte, starea unui sistem reprezinta un rezumat de informatii suficiente ce permit descrierea evolutiei sistemului. Vectorul de stare nu este in mod necesar direct accesibil pentru a fi masurat, astfel incat pentru a fi evaluat se utilizeaza un set de date observabile, descrise in Fig. 11. prin vectorul de dimensiune

In termeni matematici, graful de semnal din Fig. 11. incorporeaza urmatoarea pereche de ecuatii:

O ecuatie de proces

unde este o matrice de tranzitie a starilor de dimensiune ce este cunoscuta si care exprima legatura dintre starile sistemului la momentele si . Vectorul de dimensiune reprezinta semnalul de intrare a procesului. De obicei, in cazul abordarii statistice a modelarii sistemului, el este zgomotul de proces, un proces de zgomot alb cu media nula, si are matricea de corelatie

O ecuatie de masurare, ce stabileste vectorul de observatie prin relatia:

unde este o matrice de masurare de dimensiune cunoscuta. Vectorul de dimensiune este denumit zgomot de masurare. Este, de obicei, modelat printr‑un proces de zgomot alb ce are matricea de corelatie

Se presupune ca valoarea starii initiale, , este necorelata atat cu cat si cu pentru . Vectorii de zgomot si sunt statistic independenti, astfel ca se poate scrie

Problema filtrarii Kalman poate fi acum formulata dupa cum urmeaza: Sa se utilizeze toate datele observate, ce constau din vectorii , pentru a stabili pentru fiecare estimarea de medie patratica minima a componentelor starii . Ea este denumita problema de filtrare daca , problema de predictie daca si, in sfarsit, problema de mediere daca . In continuare ne vom concentra asupra problemelor de filtrare si predictie care sunt strans legate, facand apel la o abordare bazata pe procesul de inovatii.

Procesul de inovatii

Desemnam prin vectorul estimarea de medie patratica minima a datelor observate la momentul . Estimarea se face pe baza tuturor valorilor anterioare ale datelor de observatie, incepand cu momentul si pana la, inclusiv momentul . Aceste valori anterioare sunt reprezentate prin vectorii , care subintind spatiul vectorial . Se defineste procesul de inovatii asociat vectorului de observatie prin:

Vectorul de dimensiune rerezinta informatia noua in datele observate

Pe baza caracteristicilor generale ale semnalului de eroare in cazul filtrului optimal, se demonstreaza ca procesul de inovatii are urmatoarele proprietati:

Procesul de inovatii asociat vectorului de date observate la momentul , este ortogonal pe toate observatiile anterioare, dupa cum evidentiaza ecuatia de mai jos:

Procesul de inovatii consta dintr-o secventa de vectori variabile aleatoare, ortogonali unul pe celalalt, fapt evidentiat prin:

Exista o corespondenta biunivoca intre secventa de vectori variabile aleatoare ce reprezinta datele observate, si secventa de vectori variabile aleatoare care reprezinta procesul de inovatii, in sensul ca o secventa poate fi obtinuta din cealalta prin intermediul unor operatori lineari stabili fara pierdere de informatie. Aceasta ultima afirmatie este descrisa matematic prin:

Pentru a forma secventa de vectori variabile aleatoare ce defineste procesul de inovatii, se pot utiliza tehnici specifice calculului matricial, de exemplu procedura de ortogonalizare Gram-Schmidt.

Matricea de autocorelatie a procesului de inovatii

Pentru a determina matricea de corelatie a procesului de inovatii , se incepe prin a rezolva recursiv ecuatia de stare , ceea ce conduce la relatia

In relatia s-au utilizat urmatoarele presupuneri si proprietati:

Valoarea initiala a vectorului de stare este

Se presupune ca datele observate, si prin urmare vectorul de zgomot de stare sunt nule pentru

Matricea de tranzitie a starilor are proprietatile

si

unde este matricea identitate. De observat ca pentru un sistem invariant in timp se scrie

Ecuatia arata faptul ca este o combinatie lineara de si

Prin ipoteza, vectorul zgomotului de masurare este necorelat atat cu vectorul de stare initial cat si cu vectorul de zgomot a procesului . In consecinta, multiplicand ambii termeni ai ecuatiei cu si mediind statistic, se deduce ca:

Corespunzator, din ecuatia de masurare se poate deduce:

Mai mult, se poate scrie

Fiind date observatiile anterioare ce definesc spatiul vectorial , putem de asemenea evidentia din ecuatia de masurare , faptul ca estimarea de medie patratica minima a valorii curente a vectorului de observare este data de:

Totusi, estimarea a vectorului de zgomot de masurare este nula, intrucat este ortogonala pe observatiile anterioare ; vezi ecuatia . Prin urmare, se scrie pur si simplu

Prin urmare, utilizand ecuatiile si , putem exprima procesul de inovatii sub forma

Inlocuind ecuatia de masurare in , se obtine:

unde este vectorul de eroare a predictiei de stare la momentul , pe baza datelor disponibile pana la momentul . Prin urmare, este diferenta dintre vectorul de stare si vectorul de predictie inainte cu un pas

Se observa ca vectorul de predictie a erorii de stare este ortogonal atat pe vectorul de zgomot de proces cat si pe vectorul de zgomot de masurare

Matricea de autocorelatie a procesului de inovatii se defineste prin

Inlocuim in continuare ecuatia in , dezvoltam expresia obtinuta, si avand in vedere faptul ca vectorii si sunt ortogonali se obtine rezultatul:

unde este matricea de autocorelatie a vectorului de zgomot . Matricea de dimensiune poarta numele de matricea de autocorelatie a erorii de predictie a starii, fiind definita prin

unde este vectorul de eroare a predictiei de stare. Matricea se foloseste pentru descrierea statistica a erorii facute prin utilizarea estimarii

Estimarea starii pe baza procesului de inovatii

Vom lua in considerare in continuare problema determinarii estimarii de medie patratica minima a starii pe baza procesului de inovatii. Se poate demonstra faptul ca aceasta estimare poate fi exprimata ca o combinatie lineara a secventei de procese de inovatii

unde , este un set de matrici ce urmeaza a fi determinate. In conformitate cu principiul ortogonalitatii, vectorul de eroare a predictiei de stare este ortogonal pe procesul de inovatii, asa cum exprima ecuatia care urmeaza

Inlocuind ecuatia in si apeland la principiul ortogonalitatii pentru procesul de inovatii, in particular la ecuatia , se obtine

In consecinta, inmultind la dreapta ambii membri ai ecuatiei cu matricea inversa . gasim pentru matricea expresia

In final, prin inlocuirea ecuatiei in se obtine estimata de medie patratica minima

Vom particulariza relatia pentru

In ceea ce priveste starea de la momentul , ea este legata de starea de la momentul prin ecuatia de proces . Drept urmare, utilizand aceasta relatie, putem scrie pentru

In ultima relatie s-a folosit faptul ca depinde numai de datele observate , si prin urmare din ecuatia se observa ca si sunt ortogonali pentru . Putem atunci rescrie suma din membrul drept al ecuatiei dupa cum urmeaza:

Vom introduce in continuare cateva definitii fundamentale, necesare pentru formularea problemei filtrarii Kalman.

Matricea de castig Kalman

Se introduce matricea de dimensiuni , definita prin:

Utilizam in continuare aceasta definitie si rezultatul ecuatiei , pentru a rescrie ecuatia dupa cum urmeaza:

Ecuatia are o importanta fundamentala, reprezentand formula de calcul recursiv utilizata in cazul filtrului adaptiv Kalman. Ea evidentiaza faptul ca estimarea de medie patratica minima a starii unui sistem dinamic linear, poate fi calculata prin adaugarea la estimarea starii anterioare a sistemului multiplicata cu matricea de tranzitie a starii , a unui termen de corectie egal cu . Termenul de corectie este egal cu vectorul procesului de inovatii multiplicat inainte cu matricea . Drept urmare, si in semn de recunoastere a meritelor de pionierat ale lui Kalman, matricea este numita matricea de castig a lui Kalman.

Ramane problema exprimarii matricii de castig a lui Kalman intr-o forma convenabila calculului. Pentru a ajunge la rezultat, vom face apel la ecuatiile si pentru a exprima media produsului lui cu dupa cum urmeaza:

unde s-a utilizat constatarea ca starea si vectorul de zgomot sunt necorelate (vezi ecuatia . Mai mult, in conformitate cu principiul ortogonalitatii, sa notam ca vectorul de predictie a erorii de stare este ortogonal pe estimarea . Prin urmare, media statistica a produsului este nula, astfel incat putem rescrie ecuatia , inlocuind factorul multiplicativ prin vectorul de predictie a erorii de stare , ca mai jos:

Facem apel in continuare la ecuatia pentru a evidentia faptul ca media statistica din membrul drept al ecuatiei este egal cu matricea de autocorelatie a erorii de predictie a starii. Drept urmare, ecuatia este rescrisa astfel:

Acum, poate fi redefinita matricea de castig a lui Kalman. In particular, inlocuim relatia in pentru a obtine

unde matricea de autocorelatie este ea insasi definita prin ecuatia

Schema bloc din Fig. 11. ilustreaza graful de semnal al ecuatiei pentru calculul matricii de castig Kalman . Odata calculata matricea de castig Kalman , se poate utiliza ecuatia pentru a reinnoi cu un nou pas predictia. Cu alte cuvinte, fiind data vechea predictie , se calculeaza predictia curenta , proces ilustrat prin graful de semnal din Fig. 11. . In aceasta din urma figura, s-a utilizat de asemenea ecuatia pentru determinarea vectorului procesului de inovatii

Ecuatia Riccati

Ecuatia de calcul a matricii de castig Kalman nu este utila sub forma actuala, intrucat pentru determinarea lui este nevoie de cunoasterea valorii matricii de autocorelatie a erorii de predictie a starii . Pentru a depasi aceasta dificultate, vom deduce in continuare o formula de calcul recursiv pentru matricea

Vectorul de eroare a predictiei de stare este egal cu diferenta dintre vectorul de stare si predictia inainte intr-un pas a acestuia (vezi ecuatia

Inlocuind ecuatiile si in , si utilizand ecuatia pentru vectorul procesului de inovatii , obtinem:

In continuare, se utilizeaza ecuatia pentru a elimina vectorul din ecuatia . Se obtine ecuatia cu diferente finite de mai jos, care se utilizeaza la calculul recursiv al vectorului de predictie al erorii de stare:

Matricea de autocorelatie a vectorului de predictie a erorii de stare este data in conformitate cu ecuatia de relatia:

Inlocuind ecuatia in , si acceptand ipoteza ca vectorul de eroare si vectorii de zgomot si sunt mutual necorelati, putem exprima matricea de autocorelatie a vectorului de predictie a erorii de stare dupa cum urmeaza:

unde si sunt matricile de autocorelatie ale lui respectiv . Dezvoltam, in continuare, membrul drept al ecuatiei si apoi utilizam ecuatiile si pentru matricea de castig Kalman. Se obtine ecuatia cu diferente finite Riccati ce permite calculul recursiv al matricii de autocorelatie al predictiei erorii de stare:

unde matricea patrata de dimensiuni este definita prin ecuatia de recursie:

S-a utilizat aici proprietatea:

unde este matricea identitate. Aceasta proprietate este o consecinta a definitiei matricii de tranzitie. Semnificatia matematica a matricii din ecuatia va fi lamurita in paragraful urmator.

Fig. 11. este reprezentarea prin graf de semnal al ecuatiilor si , reprezentare facuta chiar in aceasta ordine. Acest graf poate fi vazut ca o reprezentare al calculatorului ecuatiei Riccati, prin aceea ca fiind data vechea valoare , el calculeaza valoarea curenta

Ecuatiile si , in ordinea enuntata, definesc algoritmul de predictie inainte a lui Kalman intr-un pas.

Comentarii

Procesul aplicat la intrarea filtrului Kalman consta din datele observate care definesc spatiul vectorial . Iesirea care rezulta a filtrului este egala cu vectorul de predictie a starii . Fiind cunoscute matricile , , si , se stabileste din ecuatiile si faptul ca matricea de corelatie a predictiei erorii de stare este independenta de marimea de intrare a filtrului , oricare ar fi aceasta. Matricea de castig Kalman este de asemenea independenta de . in consecinta, matricea de corelatie a predictiei erorii de stare si matricea de castig a lui Kalman pot fi calculate inainte ca filtrul Kalman sa intre propriuzis in operare. Utilizand matricea de corelatie pentru a furniza o descriere statistica a erorii vectorului de predictie a starii , aceasta poate fi examinata pe baza filtrului Kalman care produce o realizare a unui sistem fizic care prezinta interes. In acest fel, se poate stabili daca gradul de satisfactie oferit de solutia furnizata de filtrul Kalman este convenabil.

Operatia de filtrare

Vom considera, in continuare, operatia de filtrare. In particular, dorim sa calculam estimarea filtrata pornind de la algoritmul de predictie intr-un pas descris anterior.

Sa notam, pentru inceput faptul ca vectorul de stare si vectorul de zgomot sunt independenti unul fata de celalalt. Prin urmare, stabilim din ecuatia de stare ca estimarea de eroare medie patratica minima a starii la momentul , fiind date observatiile facute pana la inclusiv momentul (adica ) este

Intrucat vectorul de zgomot este independent de observatiile , rezulta ca estimarea corespunzatoare de medie patratica minima este nula. In consecinta, ecuatia se simplifica astfel:

Pentru a stabili estimarea filtrata , multiplicam inainte ambii termeni ai ecuatiei cu inversa matricii de tranzitie :

Utilizand proprietatea matricii de tranzitie a starilor, data in , putem scrie

si sa reluam ecuatia in forma echivalenta:

Ultima relatie arata ca pornind de la solutia problemei predictiei intr-un pas, care este estimarea de medie patratica minima , putem determina estimarea filtrata corespunzatoare prin multiplicarea lui cu matricea de tranzitie a starilor .

Eroarea de estimare filtrata si factorul de conversie

In contextul discutarii operatiunii de filtrare, este normala introducerea unui vector de eroare a estimarii filtrate a starii sistemului. El se defineste astfel:

Aceasta definitie este similara definitiei vectorului de inovatii din , cu exceptia faptului ca estimarea filtrata a inlocuit estimarea prezisa . Inlocuind relatiile si in , se obtine

Marimea matriciala din interiorul parantezei rotunde a ecuatiei este numita factor de conversie, furnizand o formula pentru conversia vectorului de inovatii in vectorul de eroare a estimarii filtrate . Facem apel la ecuatia pentru a elimina matricea de castig Kalman din aceasta definitie, si eliminand termenii comuni, putem rescrie relatia in forma echivalenta:

unde este matricea de autocorelatie a procesului de zgomot de masurare , iar matricea se defineste prin relatia ca matricea de autocorelatie a procesului de inovatii . Astfel, cu exceptia unei premultiplicari cu matricea , relatia arata ca matricea inversa joaca rolul unui factor de conversie in teoria filtrarii Kalman. Intr-adevar, in cazul special in care este egala cu matricea unitate, matricea inversa reprezinta exact factorul de conversie definit mai sus.

Matricea de corelatie a erorii de stare filtrata

S-a introdus anterior la formularea ecuatiei cu diferente Riccati , matricea de dimensiuni . Vom concluziona aceasta discutie asupra teoriei filtrului Kalman prin demonstrarea faptului ca aceasta matrice este egala cu matricea de autocorelatie a erorii ce se face la estimarea starii filtrate

Se defineste vectorul de eroare a starii filtrate ca diferenta dintre starea si estimarea filtrata a acesteia

Inlocuind ecuatiile si in , si recunoscand faptul ca produsul este egal cu matricea unitate, se obtine

unde este vectorul de eroare a predictiei de stare la momentul de timp pe baza datelor existente pana la momentul iar este vectorul procesului de inovatii.

Prin definitie, matricea de autocorelatie a vectorului de eroare a starii filtrate este egala cu media statistica . In consecinta, utilizand ecuatia , se poate exprima aceasta medie dupa cum urmeaza:

In urma examinarii membrului drept ale ccuatiei se poate stabili faptul ca cele trei medii statistice din componenta sa pot fi interpretate individual dupa cum urmeaza:

Prima medie este egala cu matricea de autocorelatie a erorii de predictie a starii:

Media statistica din cel de al doilea termen este egala cu matricea de autocorelatie a procesului de inovatii :

Media din cel de-al treilea termen poate fi exprimata dupa cum urmeaza:

unde, ultima expresie s-a obtinut in urma observatiei ca estimarea este ortogonala pe procesul de observatii , ce reprezinta intrarea filtrului Kalman. In continuare din ecuatia se observa ca, punand si apoi multiplicand inainte ambii membri ai relatiei prin matricea inversa se obtine

unde in ultima relatie s-a facut apel la ecuatia . Prin urmare

In continuare, putem utiliza aceste relatii in ecuatia pentru a obtine

Ultima relatie poate fi simplificata in continuare observand din ecuatia ca:

Drept urmare, utilizand relatiile si si avand in vedere faptul ca produsul este egal cu matricea unitate, obtinem rezultatul dorit pentru matricea de autocorelatie a erorii de stare filtrate

Echivalent, prin utilizarea proprietatii de a fi hermitica pentru si , putem scrie:

Comparam relatia cu pentru a evidentia ca

Aceasta demonstreaza ca matricea utilizata in ecuatia Riccati cu diferente finite este de fapt matricea de autocorelatie a erorii de stare filtrate. Matricea este folosita la descrierea statistica a erorii estimarii filtrate

Conditii initiale

Pentru a pune in miscare algoritmii de predictie intr-un pas si de filtrare descrisi in paragrafele 11.3 si , este obligatorie specificarea conditiilor initiale. Vom prezenta in continuare modalitatea de rezolvare a acestei probleme.

Starea initiala a procesului descris prin ecuatia nu se cunoaste cu precizie. Ea se descrie de obicei prin media si matricea sa de autocorelatie. In absenta oricarei date observate la momentul , putem alege drept estimare de predictie initiala valoarea:

iar drept matrice de autocorelatie

Aceasta modalitate de selectare a conditiilor initiale nu numai ca satisface intuitiv dar are de asemenea avantajul de a furniza o estimare filtrata a starii care este nedeplasata. Presupunand ca vectorul de stare este de medie nula, putem simplifica relatiile si impunand

si

Rezumatul filtrarii Kalman

Tabela 11. prezinta un rezumat al variabilelor utilizate la formularea solutiei problemei de filtrare Kalman. Intrarea filtrului este vectorul de proces , reprezentat prin spatiul vectorial , iar iesirea este estimarea filtrata a vectorului de stare. Tabela 11. prezinta un rezumat al filtrului Kalman (inclusiv conditiile initiale) ce este bazat pe algoritmul de predictie intr-un pas.

O diagrama bloc a algoritmului de filtrare Kalman este prezentata in Fig. 11. . Ea se bazeaza pe trei blocuri functionale:

• Calculatorul matricii de castig Kalman, descris prin diagrama din Fig. 11.
• Predictorul Kalman inainte intr-un pas descris prin diagrama din Fig. 11.
• Calculatorul ecuatiei Riccati reprezentat prin diagrama din Fig. 11. .

Variante de filtre Kalman

Principalul motiv al interesului pe care il aratam teoriei filtrelor Kalman se datoreaza faptului ca ea furnizeaza un cadru general pentru deducerea unor algoritmi de filtrare adaptiva cunoscuti sub numele colectiv de familia algoritmilor recursivi a celor mai mici patrate (RLS). Pentru a evidentia corespondentele dintre filtrarea Kalman si algoritmii RLS, ne vom focaliza atentia asupra unui model dinamic special de sistem adaptiv care satisface necesitatile noastre viitoare.

Caz special: Sistem dinamic nefortat

Consideram un sistem dinamic linear a carui model in spatiul starilor este descris de urmatoarea pereche de ecuatii de stare:

unde este un scalar real pozitiv. Conform acestui model, zgomotul de proces este nul iar zgomotul de masurare, reprezentat prin scalarul , este un proces de zgomot alb de varianta unitara, dupa cum rezulta din relatia de mai jos

In urma compararii acestui model cu modelul general descris prin ecuatiile pana la , notam urmatoarele:

Modelul din spatiul starilor descris prin ecuatiile pana la este numit model dinamic nefortat datorita faptului ca in ecuatia de proces lipseste vreo forta externa. Mai important, matricea de tranzitie a starilor a modelului este egala cu matricea identitate scalata cu constanta . In consecinta, matricea de autocorelatie a erorii de predictie a starii si matricea de autocorelatie a erorii de filtrare a starii iau o valoare comuna (vezi relatia

Acest model special constituie cheia formularii unui cadru general pentru dezvoltarea familiei de algoritmi adaptivi de filtrare RLS. Dupa cum se va arata mai departe, constanta are un rol semnificativ in functionarea acestor algoritmi.. Vom considera in continuare, cateva variante ale algoritmului de filtrare Kalman bazate pe modelul dinamic nefortat.

Algoritmul de filtrare de covarianta (Kalman)

Algoritmul de filtrare Kalman rezumat in Tabela 11. este astfel conceput incat sa propage matricea de autocorelatie (covarianta) ce se refera la eroarea de estimare a starii . Acest algoritm este denumit, prin urmare, algoritmul de filtrare de covarianta (Kalman). Pentru modelul dinamic nefortat pe de alta parte, gasim ca inlocuind ecuatiile din Tabela 11. se obtine algoritmul simplificat de filtrare de covarianta, rezumat in Tabela 11. . In acest din urma tabel, se observa ca se utilizeaza pentru a desemna matricea Kalman de castig, care in acest caz special ia forma unui vector.

Algoritmul de filtrare informationala

Filtrul Kalman poate fi de asemenea implementat prin calculul recursiv a matricii inverse . In aceasta abordare se poate spune ca se accentueaza caracterul de algoritm RLS al procesului de filtrare. Inversa matricii de autocorelatie a erorii de stare este legata de matricea de informatie a lui Fisher, fapt care permite sa se dea operatiunii de filtrare o interpretare din punctul de vedere al teoriei informatiei. Din acest motiv, implementarea algoritmului de filtrare Kalman, care se bazeaza pe , este denumita algoritm de filtrare informationala.

Pentru a deduce algoritmul de filtrare informationala, procedam in maniera descrisa in continuare.

Pasul 1. Se porneste de la ecuatia cu diferente finite Riccati care, in cazul special al modelului dinamic nefortat, capata forma (vezi ultima linie din Tabela 11. ):

Exprimam din ultima ecuatie valoarea produsului matricial

In continuare exprimam, ca in prima linie a algoritmului din Tabela 11. , valoarea vectorului de castig Kalman pentru modelul dinamic nefortat

Inmultind si rearanjand termenii, putem rescrie ecuatia sub forma:

Se obtine astfel o noua definitie a vectorului de castig Kalman prin inlocuirea relatiei in si simplificarea termenilor comuni

Eliminand in continuare pe intre ecuatiile si , si multiplicand apoi rezultatul cu se obtine

In sfarsit, se inmulteste inainte ecuatia cu matricea inversa si inapoi cu . Rezultatul care se obtine este prima ecuatie de recursie a algoritmului de filtrare informationala:

Pasul 2    Conform liniilor doi si trei ale algoritmului prezentat in Tabela 11. se scrie:

si respectiv

In consecinta, inlocuind ecuatia in , obtinem

Apoi, eliminarea lui intre ecuatiile si , conduce la

Dar, din ecuatia , se poate deduce cu usurinta urmatoarea relatie:

Conform ultimei relatii, ecuatia se poate simplifica dupa cum urmeaza:

Inmultim inainte aceasta ecuatie cu matricea inversa si obtinem cea de a doua relatie de recursie a algoritmului de filtrare informationala:

Se poate observa faptul ca prin ecuatia , algoritmul propaga mai degraba produsul decat estimarea , care de fapt prezinta interes.

Pasul 3 In final, valoarea reinnoita a estimarii vectorului de stare este calculata prin combinarea rezultatelor pasilor 1 si 2 dupa cum urmeaza:

Ecuatiile si , in aceasta ordine, reprezinta algoritmul de filtrare informationala pentru modelul de sistem dinamic nefortat definit prin relatiile pana la . Un rezumat al algoritmului este prezentat in Tabela 11. .

Desi implementarile de covarianta si filtrare informationala a filtrului Kalman, asa cum au fost descrise mai sus, sunt echivalente algebric, proprietatile lor numerice pot sa difere substantial. Totusi, ambii algoritmi necesita acelasi numar de operatii algebrice (adica multiplicari si adunari), ceea ce, pentru modelul special de sistem examinat este , unde reprezinta dimensiunea vectorului de stare.

Filtrul Kalman extins (EKF)

Pana in acest moment al discutiei noastre asupra filtrelor Kalman, s-a tratat doar problema estimarii vectorului de stare pentru un model linear al unui sistem dinamic. Vom arata in prezentul paragraf ca, si in cazul in care modelul sistemului este nelinear, se poate aplica filtrarea Kalman prin utilizarea unei proceduri de linearizare. Vom denumi in mod natural filtrul rezultat in urma acestei operatiuni, filtru Kalman extins (Extended Kalman Filter). O asemenea extindere este fezabila datorita faptului ca filtrul Kalman este descris, in cazul nostru, prin ecuatii cu diferente finite. Trebuie subliniat faptul ca o asemenea extindere nu este posibila in cazul filtrului Wiener, intrucat notiunea de raspuns la impuls (pe care se bazeaza filtrul Wiener) are sens doar in cazul sistemelor lineare. Aceasta observatie reprezinta un avantaj major al filtrului Kalman in raport cu filtrul Wiener.

Vom porni in dezvoltarea filtrului Kalman extins de la modelul linear standard al unui sistem dinamic in spatiul starilor introdus in prima parte a capitolului (ecuatiile si ), pe care le reproducem in continuare:

unde si sunt procese de zgomot alb necorelate si cu media nula si matrici de autocorelatie respectiv , definite prin relatiile si . Ecuatiile de definitie a filtrului Kalman corespunzator sunt rezumate in Tabela 11. . Vom rescrie aceste ecuatii intr-o forma usor modificata, mai convenabila scopului propus. In particular, vom realiza recursia pentru estimarea starii sistemului in doi pasi. In primul pas se recalculeaza pornind de la . In al doilea pas, pornind de la se obtine . Aceasta recursie face apel la inlocuirea ecuatiei in si definirea unei noi matrici de castig Kalman:

In aceste conditii, algoritmul de filtrare Kalman este descris prin urmatoarele ecuatii

In continuare, vom aborda un model ceva mai elaborat pentru sistemul dinamic. In loc de ecuatiile de stare si , vom utiliza modelul alternativ:

unde este un vector cunoscut (adica nealeator). Se verifica usor in acest caz ca ecuatiile Kalman pana la raman nemodificate, exceptie facand prima ecuatie care devine:

Aceasta modificare va fi utilizata la deducerea filtrului Kalman extins ce va fi efectuata in continuare.

Dupa cum a fost mentionat inainte, filtrul Kalman extins (EKF) este o solutie aproximativa care ofera posibilitatea extinderii principiului de filtrare Kalman la modele nelineare in spatiul starilor. In particular, modelul nelinear, pe care il vom considera in continuare, are urmatoarea forma:

unde, ca si mai sus, si sunt procese de zgomot alb necorelate si cu media nula si matrici de autocorelatie respectiv . In schimb, aici, functionala reprezinta o matrice de tranzitie nelineara, posibil variabila in timp.. In cazul linear, ea se reduce pur si simplu la cazul tratat anterior

In schimb, in cazul general nelinear, prin actiunea functionalei componentele vectorului de stare pot fi combinate nelinear. Mai mult, aceasta dependenta nelineara poate fi si variabila in timp. Similar, functionala reprezinta o matrice de masurare nelineara care, de asemenea, poate fi variabila in timp.

Drept exemplu, sa consideram urmatorul model bidimensional in spatiul starilor pentru relatia

In acest exemplu avem

si

Ideea fundamentala a filtrului Kalman extins consta in linearizarea modelului in spatiul starilor din ecuatiile si la fiecare moment de timp in jurul celei mai recente estimari de stare, care poate fi atat cat si , in functie de forma particulara a functionalei utilizate.. Odata obtinut modelul linear, se aplica ecuatiile standard ale filtrului Kalman.

Mai explicit, aproximarea se face in doi pasi.

Pasul 1.   Se construiesc urmatoarele doua matrici

si

Drept urmare, componenta a lui este egala cu derivata partiala a componentei a lui in raport cu componenta a lui . Similar, componenta a lui este egala cu derivata partiala a componentei a lui in raport cu componenta a lui . In primul caz, derivatele sunt evaluate in , in timp ce in al doilea caz, derivatele se evalueaza la . Componentele matricilor si sunt cunoscute cu toate (adica sunt calculabile), pentru ca si sunt cunoscute asa cum se arata in continuare.

Aplicam definitiile si la exemplul ales si obtinem

ceea ce conduce la

si

Pasul 2    Odata facuta evaluarea matricilor si , acestea sunt utilizate in continuare la stabilirea aproximatiei Taylor de ordinul intai a functionalelor nelineare si in jurul valorilor si . In particular, si se aproximeaza dupa cum urmeaza:

Pe baza ultimelor doua relatii, se poate acum purcede la aproximarea ecuatiilor de stare nelineare si prin expresiile care urmeaza:

In si s-au introdus doua noi cantitati:

Componentele vectorului sunt toate cunoscute la momentul de timp , si, prin urmare, poate fi privit ca un vector de observatie la momentul . Similar, si toate componentele vectorului se cunosc la momentul .

Modelul de stare aproximativ descris de ecuatiile si este linear si are o forma matematica identica cu modelul descris prin ecuatiile si ; de fapt, cu acest obiectiv in vedere s-a formulat mai devreme modelul din ecuatiile si . Ecuatiile filtrului Kalman extins sunt, prin urmare, si in acest caz, ecuatiile Kalman standard pana la si aplicate modelului linear definit mai sus. Se ajunge la urmatorul set de ecuatii:

Pe baza ecuatiilor si poate fi acum reprezentat graful de semnal din Fig. 11. a operatiei de reinnoire a predictiei cu un pas la filtrul Kalman extins.

Tabela 11. prezinta un rezumat a algoritmului de filtrare Kalman extins, in care matricile linearizate si sunt calculate din omoloagele lor nelineare pe baza ecuatiilor si . Fiind dat un model de sistem in spatiul starilor descris prin ecuatiile si , se poate utiliza acest algoritm pentru a calcula estimarea de stare recursiv. Comparand ecuatiile filtrului Kalman extins rezumate aici cu ecuatiile filtrului Kalman standard date prin relatiile pana la , observam faptul ca singurele diferente dintre ele apar la calculul vectorului de inovatii si a estimarii vectorului de stare . In detaliu, termenii lineari si de la filtrul Kalman standard sunt inlocuiti prin termenii aproximativi si respectiv de la filtrul Kalman extins. Aceste diferente sunt de asemenea puse in evidenta la compararea grafului de semnal din Fig. 11. pentru predictia intr-un pas facuta cu filtrul Kalman standard si cel din Fig. 11. pentru predictia intr-un pas facuta cu filtrul Kalman extins.

Formularea in spatiul starilor a problemei de filtrare RLS

Algoritmul RLS ponderat exponential a fost dedus pe baza principiilor enuntate in paragraful 10.3. Modelul matematic ce serveste drept fundament acestei deduceri este deterministic, intrucat singura sa sursa de incertitudine rezida in caracterul aleator al erorii de masurare . Algoritmul RLS poate fi de asemenea dedus exact direct din algoritmul de filtrare Kalman de covarianta prezentat in paragraful 11.7, utilizand un model in spatiul starilor care se adapteaza perfect problemei RLS. Modelul de stare utilizat aici este prin formularea sa natural stochastic. Aceasta abordare alternativa fata de solutia problemei RLS este deosebit de importanta intrucat ne permite sa stabilim o lista de corespondente unu la unu intre variabilele RLS si variabilele Kalman bazate pe modelul de stare. Cu o asemenea lista la dispozitie, putem utiliza vasta literatura consacrata filtrelor Kalman pentru a rezolva problema RLS intr-o maniera unificata, ceea ce reprezinta obiectivul nostru final.

Compararea modelelor aleatoare si deterministe

Pentru inceput, vom considera modelul dinamic nefortat descris prin ecuatiile pana la , reprodus in continuare

unde este vectorul de stare a modelului, este marimea scalara de obsevatie sau semnalul de referinta, iar este un proces scalar aleator de zgomot alb de medie nula si varianta unitara. Parametrul modelului este o constanta reala si pozitiva. Din relatia se vede usor ca:

unde este valoarea initiala a vectorului de stare. Evaluand in consecinta ecuatia la momentele , si utilizand in continuare ecuatia pentru a exprima vectorii de stare la momente distincte in functie de valoarea initiala , se obtine urmatorul sistem de ecuatii lineare simultane:

Echivalent, putem scrie

Sistemul de ecuatii reprezinta o caracterizare stochastica a modelului dinamic nefortat, corespunzand astfel la o abordare din punct de vedere Kalman a problemei.

Vom considera in continuare formularea determinista a problemei, adica vom incerca sa o privim din punctul de vedere RLS. Adaptand la problema examinata modelul de regresie lineara din ecuatia (10.43):

putem scrie urmatorul sistem determinist de ecuatii lineare simultane:

unde este vectorul de parametri necunoscuti ai modelului, este vectorul de intrare, este semnalul de referinta sau raspunsul dorit iar este eroarea de masurare.

Avem astfel doua sisteme de ecuatii lineare simultane pentru rezolvarea in esenta a aceleiasi probleme. Un sistem este stochastic, bazat pe teoria filtrului Kalman; celalalt sistem este determinist, bazat pe teoria estimarii dupa cele mai mici patrate. Intuitiv, ne-am astepta ca ambele abordari sa conduca exact la aceiasi solutie pentru problema examinata. mai mult, recunoscand ca aceste doua sisteme de ecuatii au aceiasi forma matematica, pare rezonabil pentru noi sa fixam

Pe aceasta baza, o comparatie intre ecuatiile stochastice si ecuatiile deterministe dezvaluie imediat corespondentele unu la unu:

unde asteriscul reprezinta conjugarea complexa, variabilele din membrii stangi se refera la modelul din spatiul starilor, iar cele din membrii drepti se refera la modelul de regresie lineara.

Comparatie intre filtrul Kalman de covarianta si a algoritmului RLS

Vom extinde in continuare lista de corespondente intre cele doua metode, comparand algoritmul de filtrare de covarianta Kalman din Tabela 11. si algoritmul RLS prezentat in Tabel 10.1 din capitolul 10. Facand comparatia linie cu linie a celor doi algoritmi si presupunand ca in Tabela 11. se ia si , se obtine:

Mai mult, compararea ecuatiilor si (10.37) evidentiaza faptul ca factorul de conversie din forma specializata a algoritmului de filtrare Kalman de covarianta si factorul de conversie din algoritmul RLS sunt identici:

Intr-adevar, adaptand ecuatia la forma specializata a algoritmului de filtrare Kalman din Tabela 11. , avem

Tabela 11. prezinta corespondentele dintre variabilele utilizate de cei doi algoritmi. Partea stanga a tabelei prezinta variabilele Kalman si descrierea lor iar partea dreapta contine variabilele RLS.

Concluzii si discutii

Filtrul Kalman este un sistem in timp discret, linear, de dimensiuni finite, a carui implementare se adecveaza bine calculatorului electronic. O proprietate fundamentala a filtrului Kalman este aceea ca el conduce la minimizarea urmei matricii de autocorelatie a erorii de stare filtrate . Aceasta, inseamna ca filtrul Kalman este estimatorul linear de varianta minima a vectorului de stare .

Filtrul Kalman a fost utilizat cu succes la rezolvarea multor probleme tehnice si stiintifice. Mai mult, filtrul Kalman furnizeaza cadrul general pentru dezvoltarea tuturor algoritmilor cunoscuti din familia filtrelor adaptive RLS. Acest lucru a fost demonstrat intr-o lucrare din 1994 a lui Sayed si Kailath. Drept urmare, s-a aratat perfecta echivalenta dintre problemele intalnite in filtrarea adaptiva a semnalelor si cele rezolvate prin filtrare Kalman in automatica. S-a deschis astfel calea aplicarii si in prelucrarea digitala a semnalelor a acestor rezultate.