Problema Cauchy abstracta

Problema Cauchy abstracta

1 Solutii clasice si moderate. Proprietati

Fie X un spatiu Banach real sau complex , S = un C- semigrup si

A : D(A) X X generatorul sau infinitezimal.

Pentru fiecare problema Cauchy omogena

are o unica solutie

x(t) = S(t) .

In continuare studiem problema Cauchy neomogena descrisa de sistemul

(S)

unde T ( 0,], f : [ 0,T ) X , .

Definitia 1.1. O functie x : [0,T ) X se numeste solutie clasica pentru sistemul (S) daca indeplineste urmatoarele conditii :

(i) x este continua pe [ 0, T) si de clasa pe ( 0, T);

(ii) x(t) D(A) , pentru orice

(iii) x verifica sistemul (S).

Teorema 1.1. Daca x este solutie pentru sistemul (S), atunci

.

Definitia 1.3. Fie X si f . Functia x : [0,T) X data de relatia

,

se numeste solutie moderata (mild) a sistemului (S).

Teorema urmatoare ne da o proprietate importanta a solutiei moderate.

Teorema 1.2. Daca x : [0,T) X este solutia moderata a sistemului (S) atunci x este continua pe [0,T

2 Conditii necesare ca o solutie moderata sa fie clasica.

Exemplul 2.1.   Fie cu proprietatea ca

S(t) D(A) , pentru orice . Consideram sistemul

unde f(t) = S(t)x , pentru orice t > 0. Atunci avem ca f este continua pe si x(0) = 0 D(A). Cu toate acestea , solutia moderata are expresia

, ,

deci D(A), pentru orice t > 0

Teorema 2.2. Fie

ds .

Daca x f este continua pe 0,T) si este o aplicatie de clasa Cpe (0,T), atunci solutia moderata a sistemului (S) este solutia clasica.

Teorema 2.3. Daca x si f este o functie de clasa pe 0,T), atunci sistemul (S) are o unica solutie classica.

Bibliografie

1. Buse, C. - Comportari asimptotice ale proceselor de evolutie, Editura Sedona, Timisoara, 1988;

2. Cristescu, K. - Analiza functionala, Editura Didactica ;

3. Curtain, R; Zwart, H. J. - An Introduction to Infinite Dimensional Linear Control Systems Theory, Springer Verlag , New York, 1995 ;

4. Curtain, R; Pritchard, A.J. - Functional Analysis in Modern Applied Mathematics, Mathematics in Science and Engineering 132, Academic Press 1977;

5. Engel , K. J.; Nagel, R. - One- Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics, vol 194, Berlin 2000;

6. Gaspar, D.- Analiza functionala, Editura Facla, Timisoara 1981;

7. Hille, E; Phillips , R. S. - Functional Analysis and Semi-groups American Mathematical Society, Colloquium Publications Vol 31, Providence, R. I. 1957;

8. Gheorghiu, N.- Introducere in analiza functionala, Editura Academiei RSR, Bucuresti 1974;

9. von Neerven, J. M. A. M.- The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Operator Theory Advanced and Applications, vol 88, Birkhäuser, Bassel 1996;

10. Pazy, A. - Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer Verlag, 1983;

11. Sasu, A. L. . Sasu, B.- Sisteme liniare cu control, Editura Politehnica Timisoara 2003;

12. Yosida, K- Functional Analysis, Springer Verlag, 1993.