Definita unei categorii. Exemple

Definita unei categorii. Exemple

Definitia 1.1: O categorie este data de o clasa C de obiecte si o clasa C de morfisme, care au urmatoarea structura

Fiecare morfism are un domeniu si un codomeniu, care sunt obiecte. Scriem:

f :XY sau XY

daca X este domeniul morfismului f si Y este codomeniul morfismelor.

Mai putem scrie : X dom( f) si Y cod ( f);

(X, Y) reprezinta clasa morfismelor de la X la Y. (sau, inca, Hom (X, Y) )

Fiind date doua morfisme f si g astfel incat cod ( f ) = dom ( f ) , compunerea lui f si g , notata go f, este definita si are domeniul dom( f) si codomeniul cod (g) .

XYZ

Compunerea morfismelor este asociativa, adica: fiind date morfismele:

f :X Y, g:YZ, h:ZW

h(gf) (hg) f;

Pentru fiecare obiect X , exista morfismul identitate , notat cu id _X, astfel incat:

id_Xg=g, oricare ar fi g:YX

si

f id_x =f, oricare ar fi f: X Y.

Exemple de categorii:

1 este categoria cu un obiect * si un morfism id

0 este categoria vida.

Orice multime preordonata este o categorie

O preordine (multime preordonata) este o multime X impreuna cu o relatie binara " ", reflexiva si tranzitiva.

reflexivitatea: rezulta din existenta lui id_X

tranzitivitatea: rezulta din compunerea morfismelor.

Preordinea poate fi vazuta ca o categorie, cu C = X si C

Set este categoria tuturor multimilor, avand ca obiecte, multimile, iar ca morfisme, functiile dintre multimi.

Rel este categoria avand drept obiecte, multimile, iar ca morfisme, relatiile dintre multimi.

Multe categorii de baza au ca obiecte anumite structuri matematice, iar ca morfisme functiile ce pastreaza structura.

Obs: Nu toate grafurile sunt categorii, pentru ca compunerea a doua arce nu este intotdeauna un arc.

Sgr este categoria semigrupurilor, avand ca obiecte semigrupurile, iar ca morfisme, morfismele de semigrupuri.

Mon este categoria monoizilor, avand ca obiecte monoizii, iar ca morfisme, morfismele (unitare) de monoizi (care transfera si elementul neutru).

d)   Gr este categoria grupurilor, avand ca obiecte grupurile, iar ca morfisme morfismele dintre grupuri.

Ab este categoria grupurilor abeliene, avand ca obiecte grupurile abeliene, iar ca morfisme morfismele de grupuri abeliene.

Ring este categoria inelelor, avand ca obiecte inelele, iar ca morfisme morfismele de inele.

e)   Top este categoria spatiilor topologice, avand ca obiecte spatiile topologice, iar ca morfisme functiile continue.

Pos este categoria multimilor partial ordonate si a functiilor monotone.

Categoria morfismelor unei categorii C, notata C,

Obiectele sunt perechile de forma (X, f,Y), unde X, Y C si f C . Un morfism de la (X, f,Y) la (X' , f' ,Y' ) este o pereche de C - morfisme (h_X, h_Y ) cu

astfel incat h_Y f=f' h_X

11) Categoria duala unei categorii C notata C, care se obtine prin procedeul de

"intoarcere a sagetilor". Obiectele sunt obiectele categoriei C iar ca morfisme, daca

X, Y C , atunci C   C

Graph este categoria grafurilor, avand ca obiecte grafurile, iar ca morfisme morfismele de grafuri. Sa reamintim constructia lor:

Un graf G este un 4-uplu G = (G , G , s, t), unde G este multimea nodurilor sau varfurilor, G este multimea muchiilor sau arcelor, s, t : E V, care "ofera" sursa, respectiv tinta fiecarei muchii. Un morfism de grafuri (avand in vedere ca fiecare graf are in definitia sa cate doua multimi) va fi atunci o pereche de functii care sa pastreze structura. Avand doua grafuri, G = (G , G , s, t) si G' = (G' , G' , s', t'), un morfism de la G la G' ,

notat (φ ):G  G' , este o pereche de functii φ : G G' : G G' astfel

incat urmatoarele diagrame sunt comutative in Set

13) Drumuri intr-un graf Dat un graf G G G s t), se numeste drum de lungime k de la

a G la b G , un sir de k arce f , f , , fk astfel incat:

s(f ) = a, t(fk) = b

t(fi ) = s(fi

Vom nota un astfel de drum prin (f , f , , fk

Conventie: exista un drum de lungime 0, unic pentru fiecare nod.

Doua arce f si g se numesc compozabile daca t(f) = s(g). Vom nota G multimea lor, iar prin f ; g, drumul obtinut prin compunerea lor.

Aceasta definitie se extinde, in mod natural, si la drumuri de lungime oarecare.

In acest mod obtinem o noua categorie, Pa(G), avand drept obiecte nodurile grafului si drept morfisme drumurile din graf.

Tipuri. Tipurile sunt utilizate pentru clasificarea "lucrurilor". Conform cu prima dogma a lui Goguen, ele ar trebui sa formeze o categorie avand tipurile drept obiecte (clar, pot aparea mai multe categorii, dupa modul de clasificare).

Un exemplu simplu sunt tipurile "produs finit", care sunt reprezentate prin numere naturale, iar morfismele prin ceea ce s-ar numi "operatii de transfer de registri". Sa detaliem:

Astfel, n N indica un n-uplu t , t , , t_n de itemi de date in n "registri". Un morfism f : m n este o functie care indica faptul ca, continutul registrului  f(i) ar trebui transferat registrului i, i= 1,..,n. In fapt, noi identificam numarul n cu multimea (si 0 cu ), aceasta categorie devenind opusa unei subcategorii a lui Set. Sa o notam cu N

Limbajele de programare functionale, din punct de vedere categorial.

Un limbaj de programare functional se poate descrie, in mare, ca fiind un limbaj care da utilizatorului cateva tipuri, operatii primitive si constructori, de la care pornind, se obtin tipuri si operatii mai complicate. Scrierea unui program in aceste limbaje inseamna, in fond, aplicarea acestor constructori tipurilor, constantelor si functiilor. "Rularea" unui program este constituita din aplicarea unui astfel de operator constantelor de intrare pentru obtinerea unor valori. Avem asadar:

FPL-1: tipuri de date primitive, date in limbaj

FPL-2: constante de fiecare tip

FPL-3: operatii = functii intre tipuri

FPL-4: constructori - se aplica tipurilor de date si operatiilor pentru a produce tipuri de date si operatii derivate

Limbajul = multimea tuturor operatiilor si tipurilor derivate din operatiile si tipurile de date primitive.

Daca vom face 3 presupuneri suplimentare, vom putea privi in mod direct cum unui limbaj functional L ii corespunde, in mod canonic, o categorie

A-1 Presupunem ca exista o operatie "do-nothing" , idA, pentru fiecare tip A. Cand se aplica, ea nu face nimic tipului de date respectiv.

A-2 Adaugam limbajului un tip aditional, numit 1, care are proprietatea ca din fiecare tip A exista o unica operatie la 1. Interpretam fiecare constanta c de tip A ca fiind o sageata c : 1 A. In acest fel, constantele sunt incorporate multimii operatiilor.

A-3 Presupunem ca limbajul are un constructor de compunere: pentru o operatie f care ia ca intrare ceva de tip A s produce ceva de tip B, si o alta operatie g avand drept input ceva de tip B si produce un output de tip C, avem operatia derivata f ; g, care are input din A si output din C.

In acest fel, putem organiza limbajul ca si categorie pentru care:

FPC-1: tipurile sunt obiectele categoriei

FPC-2 : Operatiile (derivate si primitive) sunt morfismele categoriei

FPC-3 : sursa si tinta unui morfism sunt tipul de intrare si tipul de iesire a operatiei respective

FPC-4: Compunerea morfismelor este data de constructorul de compunere

FPC-5: Morfismele identitate sunt operatiile "do-nothing" asociate fiecarui tip

Sa vedem si un exemplu concret: Avem un limbaj cu 3 tipuri de date NAT, BOOLEAN, si CHAR.Vom da o descriere a operatiilor in stil categorial:

NAT are o constanta NAT si o operatie s u c c : NATNAT

2 constante true si f a l s e : 1 BOOLEAN si o operatie care satisface true; = false si false; = true

CHAR are cate o constanta c : 1 CHAR pentru fiecare caracter.

operatii de conversie de tip ord : CHAR  NAT, chr : NAT CHAR. Ele

satisfac ecuatiile ord ; chr = idCHAR

Obiectele categoriei sunt NAT, BOOLEAN, CHAR si 1. Morfismele categoriei sunt

programele scrise in acest limbaj. De exemplu, morfismul

next : CHAR CHAR

(programul care ne ofera urmatorul caracter) este obtinut ca o compunere:

next = ord ; succ ; chr

Observatie: Orice categorie poate fi privita, intr-un sens generalizat, ca un graf. Acest graf are obiectele drept noduri iar arcele sunt morfismele dintre obiecte. Odata ce am facut aceasta legatura, pentru o categorie C sa notam prin graph() graful asociat categoriei.

Definitie Fie I un graf si C   o categorie. Se numeste diagrama in C  de forma I, un morfism de

grafuri  ( C ) . O diagrama se numeste a fi comutativa daca pentru orice doua noduri x, y si orice doua drumuri (f , f , , fk), (g , g , , _gm de la x la y in graful I, avem

in C .

Observatie Faptul ca o diagrama este comutativa stabileste o serie de egalitati intre arce. In acest fel obtinem o posibilitate de a face rationamente ecuationale in forma "vizuala", avantaj care nu a fost inca exploatat in ingineria software.

Definitii (tipuri de obiecte):

Un obiect X dintr-o categorie se numeste final (terminal) daca pentru oricare alt obiect Y

exista exact un singur morfism Y X in categorie.

Dual, X este initial daca pentru toate obiectele Y exista un singur morfism X Y

Fie C  o categorie

Definitia 1.4: Fie D este o subcategorie a lui C  daca

i) D C

ii)    ()A, B D D(A, B) C(A, B) ;

iii)  Compunerea morfismelor in D este acceasi ca in C

iv)   ()A D : id_A in D  este acelasi cu id_A in C(A, B) .

In plus, daca ()A, B D D (A, B)=C (A, B) , atunci D se numeste subcategorie plina a lui C

Exemple

a)   Ab este subcategorie plina a lui Gr.

b)   Gr este subcategorie plina a lui Sgr.

c)   Sgr este subcategorie a lui Set care nu este plina.

d)   Mon este subcategorie a lui Sgr care nu este plina.

Dualitate in teoria categoriilor

Fie P un enunt care se exprima in termeni de categorie, morfism si obiecte. Exprimand acest enunt pentru o categorie C si pentru C  se obtin doua enunturi P(C) si P(C  ^o ). Daca in enuntul P(C  ) obiectele si morfismele sunt privite si interpretate ca obiecte si morfisme ale categoriei C atunci se obtine un nou enunt PC  

P C  ) si P(C ) se numesc enunturi duale.

P(C ) se obtine din P(C  ) "intorcand sagetile".

Teorema (Principiul de dualitate in teoria categoriilor)

Fie P un enunt care se exprima in termeni de categorie, morfism si obiecte. Daca P este adevarat pentru orice categorie C atunci si dualul acestuia este adevarat pentru orice categorie.

Morfisme si obiecte remarcabile intr-o categorie

Fie C o categorie si f C (A, B) morfism de la A la B.

Definitii 1.5 (morfisme):

Spunem ca f este mono (sau monomorfism, sau monomorfic) daca pentru ( )C C (obiect

in C ) si ( ) u, v C (C, A) f o u = f o v T u= v.

Spunem ca f este epi (sau epimorfism, sau epimorfic) daca pentru ( ) C C (obiect in  ) si

)u,v C (B,C) uo f =vo f Tu=v.

Un morfism care este si mono si epi se numeste bimorfism.

Functia f se numeste izomorfism daca este inversabil la stanga si la dreapta adica:

)g (B, A) astfel incat

unde g se numeste inversa lui f si, daca exista este unica

Notam:

Observatii:

Definitia epimorfismelor este duala monomorfismelor. Adica, f este epi in C daca si numai daca f este mono in se numeste inversa lui f si, daca exista, C si invers.

In Set, f este mono daca si numai daca f este o functie injectiva. Este valabil si in Grp, Graph, Rng, Preord, Pos,

In Set, f este epi daca si numai daca f este o functie surjectiva. Este valabil si pentru Grp, dar nu pentru Mon.

In general, doua obiecte izomorfe sunt tratate ca fiind "in esenta" aceleasi.

Proprietatea obiectelor de a fi izomorfe trebuie vazuta in contextul "vietii sociale" care este data de categoria in discutie. Avand o alta categorie, cu aceleasi obiecte, dar referitoare la alte aspecte structurale, doua obiecte pot fi izomorfe in prima categorie fara a fi izomorfe in cea de a doua.

Un exemplu in sensul mentionat anterior apare in dezvoltarea software-ului orientat-obiect: doua obiecte pot fi considerate izomorfe ca avand aceeasi interfata si aratand acelasi comportament al interfetelor lor. Pe de alta parte aeste obiecte pot avea implementari complet diferite.

Vom incheia acest prim paragraf prin studiul unui alt exemplu de categorie provenind din informatica, si anume categoria automatelor.

Exista mai multe variante de automate si ne vom opri pentru moment la automatele Moore: Definitie 1.6 Un automat Moore este un 5-uplu A = (X, S,Y, s , f, g) unde:

X, o multime nevida, numita alfabet de intrare,

Y alfabetul de iesire,

S este multimea starilor, s este starea initiala, s S

f: X S S functia de tranzitie,

g : S → Y este functia de intrare.

Faptul ca f (a, s ) = s si g ( s ) = b se interpreteaza astfel:

Automatul este in starea s si primeste intrarea a, si atunci trece in starea s , eliberand b.

Notiunea de morfism de automate trebuie sa aiba posibilitatea de a "captura" structura unui automat, indicand modul in care automatul poate fi simulat de un altul. Cu alte cuvinte, un morfism trebuie sa transleze multimile de intrare, de stari, de iesire in asa fel incat functiile de tranzitie, starile de intrare si functiile de iesire "sa se corespunda".

In acest fel ajungem la urmatoarea definitie pentru morfisme de automate:

Definitie 1.7

Date doua automate A = (X, S,Y, s , .f, g) si A' = (X', S',Y', s' , .f', g'), se numeste morfism de automate, notat : A → A', un triplet = (h, i, j), unde h : X → X', i : S → S' si j : Y → Y' astfel incat sa fie indeplinite conditiile:

i(s ) = s'

i ◦ f = f' ◦ (hืi)

j ◦ g = i ◦ g'

Aceste conditii pot parea, la prima vedere, destul de greu de retinut. Daca, insa, vom utiliza diagramele pentru reprezentarea vizuala a acestor ecuatii, totul devine simplu:

Fie A un automat. Este clar ca nu orice stare din automat este interesanta ci numai acelea pentru care exista o posibilitate de a ajunge pornind din starea initiala (sau, inca, cele pentru care exista un drum in graful de tranzitie asociat, pornind din starea initiala). Astfel de stari se numesc stari accesibile. Un automat pentru care toate starile sunt accesibile se numeste automat accesibil (reachable automaton).

Starile inaccesibile pot fi eliminate, pastrandu-se numai starile accesibile. Vom obtine in acest mod un nou automat, AR asociat lui A.

Considerand numai automatele accesibile, obtinem o noua categorie, categoria automatelor accesibile, pe care o vom nota cu REACH. Este evident ca REACH este o subcategorie plina a lui AUTOM

Ideea este ca, in scopul simularii altor automate, orice automat poate fi reprezentat prin automatul accesibil asociat se poate formula in modul urmator:

Fie A = () si A = () automatul accesibil asociat.

Avem un morfism canonic asociat, , si satisfac urmatoarea proprietate:

"Pentru orice R un automat accesibil si orice simulare : R → A, exista un unic morfism in REACH : R → astfel incat ◦ . Astfel, urmatoarea diagrama este commutativa:

Cu alte cuvinte, este cel mai "apropiat" automat accesibil de A adica orice alt automat accesibil care poate fi simulat de A poate fi simulat de