Inele de polinoame

Inele de polinoame

Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.

Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la inceput nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera sirurile f = (a0, a1, a2, . ), ai IA a.i. toti termenii sai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.

Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. Sirurile f = (a0, a1 , . ) si g = (b0 , b1 , . ) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si inmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar.

Fie f, g IA', f = (a0, a1, a2, . ) , g = (b0, b1, b2, . ). Atunci adunarea se defineste astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . ).

Este evident ca f + g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f + g I A . Sa verificam ca (A',+) este grup abelian .

Intr-adevar , daca f ,g, h I A , f = (a0, a1, a2, . ), g = (b0, b1, b2, . ),  h = (c0, c1, c2, . ), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . ) + + (c0, c1, c2, . ) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, . ] si f + (g + h) = (a0, a1, a2, . ) + [(b0, b1, b2, . ) + (c0, c1, c2, . )] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1), . ] .

Cum adunarea in inelul A este asociativa ,avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 . , de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g = g + f.

Daca 0 = (0, 0, 0, . ) , atunci 0 + f = (0, 0, . ) + (a0, a1, . ) = (0 + a0, 0 + + a1, . ) = (a0, a1, a2, . ) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca fIA', f = (a0, a1, a2, . ), atunci -f = (- a0, - a1, - a2, . ) este opusul lui f si f + (- f) = (- f) + f = 0 .

Inmultirea pe A se defineste astfel:

F g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, . ) = (c0, c1, . ) , unde Ck=

Este clar ca f, gIA'. Inmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai intai asociativitatea .

Fie f, g, h IA' , unde f = (a0, a1, a2, . ) , g = (b0, b1, b2, . ) , h = (c0, c1, ,c2, . ) si sa aratam ca (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2, . ). Atunci . De asemenea, fie

(fg)h = (d0',d1',d2', . ), unde d'm =

Daca gh = (c0,c1, . ), atunci :

si fie f(gh) = (l'0,l'1,l'2, . ), unde :

Deci d'm = l'm pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea inmultirii rezulta din faptul ca inmultirea in inelul A este comutativa, iar in expresia produsului polinoamelor f si g termenii factorilor intervin in mod simetric.

Elementul unitate din A' este sirul (1, 0, 0, . ) . Inmultirea pe A' este distributiva fata de adunare. Intr-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :

f(g + h) = (d0, d1, . ) , unde

fg + fh = (d'0,d'1, . ), unde

Cum operatia de inmultire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g + h) = fg + fh. Evident are loc si relatia (f + g)h = fh + gh si afirmatia s-a demonstrat.

Propozitia 5.1.

Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A' ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) impreuna cu operatiile de adunare si inmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienti din A .

Daca f = (a0, a1, . ) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si daca n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an 0 , atunci n se numeste gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se defineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind - . Daca gradul (f) = n , atunci a0, a1, . , an se numesc coeficientii polinomului f.

Fie aplicatia u: A A' definita prin u(a) = (a, 0, 0, . ) . Aplicatia u este injectiva , caci, daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, . ) = (b, 0, . ) a = b. De asemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) si u(ab) = u(a)u(b) , a, b I A , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a, 0, . ) + (b, 0, . ) = (a + b, 0, . ) si (a, 0, . ) (b, 0, . ) = (ab, 0, . ) .

Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a IA cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a, 0, . ) din A'. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, . ), care se numeste nedeterminata X. Obtinem:

Pentru orice a I A, avem ax= (0, 0, . , 0, a, 0, . ). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, . , an, 0, . ) = (a0, 0, 0, . ) + (0, a1, 0, . ) + .

. + (0, 0, . an, 0, . ) = a0(1, 0, . ) + a1(0, 1, 0, . ) + . + an(0, 0, . , 1, 0, . ) =

Daca an = 1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A' obtinut se numeste inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau -    daca si numai daca f apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f + g) max (grad(f), grad(g)) ; grad(fg) grad(f) + grad(g), pentru  f, g IA[x].

Daca A este un domeniu de integritate , se poate inlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Propozitia 5.2.

Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.

Demonstratie:

Fie f, gIA[x] ;

Atunci :

A fiind domeniu de integritate, rezulta din am 0 si bn 0 ca ambn 0, adica fg 0. In particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.

Propozitia 5.3.

Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x]) ==u(A).

Demonstratie:

Fie aIA, inversabil in A , adica exista bIA a.i. a b = 1. Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].

Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom  g I A[x] a.i. fg = 1 si , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adica f, g I A. Deci f I A si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) u(A). Intr-adevar , polinomul neconstant 1 + 2X I Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.

Aplicații:

1.    Sa se arate ca in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireductibil.

 Solutie.

Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s-ar descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obtinem a b = 0, a b = 1 ,

a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a (a b + a b ) = 0 se obtine se obtine ca a + a = 0, contradictie .

2. Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y + + XY + Y este ireductibil, n 2 , n I N .

Solutie. Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienti in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p - prim , in inelul factorial Q[Y] sunt indeplinite conditiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y].

3. Sa se arate ca polinomul f = 3X + 4X - 6X + 7X + 21 este ireductibil in Z[X] .

Solutie. Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reductiei pentru p=2. Avem f = X +X +1I Z [X] si aratam ca f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 1 0 , rezulta ca f nu are factori de gradul intai in descompunere. Fie acum X +X +1= (aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficientilor se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradictie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reductiei rezulta f ireductibil in Z[X].