Formulele Newton-Cotes de tip inchis

Formulele Newton-Cotes de tip inchis

Fie h=, nN și x=a+kh, .

Avem:

=.

Pe fiecare interval , , consideram punctele echidistante :

x+i, =,

Pe acest sistem de noduri consideram formula de interpolare a lui Newton:

f=p+r, unde :

p(x)=f(x)+>

r(x)=f<x,,x+,,x+s>

Pentru diferențele divizate folosim formula de calcul cu ajutorul diferențelor ascendente:

f< >=

Se  efectueaza in (9) și (10) schimbarea de variabila x=x+t

Obținem:

p(x+t)=f(x

r(x+t f(x

Remarca. In (12) pasul diferențelor ascendente este

Daca fC, exprimand diferența divizata din (13) cu ajutorul derivatei de ordinul s+1, obținem:

r(x+t)= (C(t)),

unde C este un punct intermediar punctelor x+t, x+i, .

Avem:

.

In ambele integrale din membrul drept efectuam schimbarea de variabila x=x+

Obținem:

Utilizand (12) rezulta:

Deoarece și (15) rezulta:

,

unde:

R(f)=

Formula (16) reprezinta forma generala a formulelor Newton Cotes de tip inchis.

Pentru studiul restului presupunem ca f. In acest caz avem:

Deci:

R(f)=

Cazuri particulare.

I.   Formula generalizata a trapezelor.

Aceasta fprmula se obține pentru m=s=1. Rezulta

Din (16) deducem:

Pentru n se obține formula :

(formula generalizata a trapezelor).

Pentru n=1 se obține formula clasica a trapezelor:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Folosind formula de medie pentru integrala, obținem:

R(f)=

Deoarece f rezulta ca exista un punct , astfel incat :

Obținem in final pentru rest expresia:

R(f)=-

II.     Formula generalizata a lui Simpson.

Aceasta formula se obține pentru m=2, s=3. In acest caz avem Din (16) rezulta:

Ultima integrala are valoarea zero. Apoi:

Pentru n dupa un calcul elementar, se obține formula:

(formul generalizata a lui Simpson).

Pentru n=1 se obține formula clasica a lui simpson:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Cu toate ca t(t-1)(t-2)(t-3) nu pastreaza semn constant pe se poate arata ca R(f) se poate scrie sub forma:

R(f)=

Se obține in final pentru rest evaluarea:

(22) R(f)=-

III.  Formula generalizata a lui Newton.

Aceasta formula se obține pentru m=s=3. In acest caz avem:

Din (16) rezulta:

    Deoarece:

dupa inlocuiri, pentru rezulta formula:

(formula generalizata a lui Newton).

Pentru n=1 se obține formula clasica a lui Newton:

Studiul restului. Din (18) rezulta:

R(f)=

Deoarece f, rezulta ca exista cu proprietatea :

In final se obține pentru rest expresia:

R(f)=- , .

Comentarii. 1. Pentru m=2q se poate lua s=m+1. Avem:

p(x+t)=p(x+)+f(x).

Deoarece:

,

rezulta:

și deci:

Formula (25) este exacta pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.

Pentru m=s=2q+1 se obțin formule exacte pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.

Din aceste motive, de obicei se prefera aplicarea formulelor de integrare numerica pentru m par.

Numarul n al punctelor se alege astfel incat valoarea absoluta a restului sa fie mai mica decat eroarea admisa. De exemplu, pentru a aproxima valoarea integralei cu eroarea data , folosind formula lui Newton (23), procedam astfel:

a) Daca se poate calcula numarul M=sup, sau un majorant al acestuia , atunci

x

vom lua pentru n cel mai mic numar natural cu proprietatea:

, respectiv

Cu n astfel determinat, vom aproxima valoarea integralei cu primul termen al membrului drept din formula (23).

b) Daca nu se poate calcula M și nici un majorant al acestuia, atunci pentru valori crescatoare ale lui n(obținute printr-un algoritm oarecare) calculatorul ne va da un șir de valori, aproximații pentru integrala. Pentru n suficient de mare, diferența in valoare absoluta intre doua valori consecutive va fi mai mica decat . Calculele pot fi oprite in acest moment.

. Formula lui Romberg. Formula:

din algoritmul de accelerare al lui Richardson, (formula (5) din capitolul IV), pentru x , devine:

, i, k

Fie aproximațiile integralei , calculate cu formula trapezelor (19), unde n=p2, p. Deci:

R

Metoda descrisa de formulele (26) și (27) se numește metoda lui Romberg.

Exemplul 1. Sa se aproximeze valoarea integralei cu eroarea , cu formula lui Newton.

Soluție. f(x)=

Condiția este echivalenta aici cu :

Rezulta n Cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate este 3. Vom lua n=3. Deci: x=0, x=, x=, =1.

Obținem:

Rezulta:

Valoarea exacta a integralei este ln2=0,69314718056.

Exemplul 2. Sa se calculeze cu o eroare , folosind formula lui Simpson.

Soluție. Derivata a patra a funcției f(x)= este :

f(x)=

Cei doi termeni din expresia lui f sunt pozitivi și descrescatori pe intervalul

Rezulta

Din:

rezulta n16,8. Vom lua n=3.

Deci: x=, x=, x=, x=.

Obținem:

Folosind al doilea procedeu se obțin rezultatele din tabelul urmator:

Exemplul 3. In tabelul urmator sunt trecute rezultatele obținute aplicand formula lui Simpson pentru integrala:

Folosind al doilea procedeu, cu precizat.

Exemplul 4. Pentru integrala:

din exemplul 1, aplicam acum metoda lui Romberg (26)+(27), cu p=1.

In tabelul care urmeaza apar primele patru coloane din tabloul lui Richardson:

Valoarea exacta a integralei, cu 11 zecimale, este 0,69314718056.

Primele trei zecimale exacte, in prima coloana se obțin pentru k=4, deci prin insumarea a 2-1=15 termeni in (27). Cu același numar de termeni, se obțin in coloana a patra 8 zecimale exacte in R. Insumand termeni in , in se obțin 11 zecimale exacte.

Acest exemplu este ilustrativ pentru puterea de accelerare a algoritmului lui Richardson (formula (27) este obținuta din formula trapezelor).