Inele factoriale

Inele factoriale

Definitia 4.1. Un inel integru A se numeste inel factorial sau cu descompunere unica in factori primi (ireductibili), daca orice element neinversabil si nenul din A se descompune intr-un produs finit de elemente prime.

Din teorema 3.7 rezulta ca orice inel principal este factorial. In particular, inele Z, Z[i], si orice inel de polinoame de o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp este inel factorial.

Lema 4.2. Daca A este inel factorial , descompunerea unui element in produs de elemente prime este unica in afara de ordinea factorilor si o asociere a lor. Adica, daca

unde si , i=1, . ,n, j=1, . .m sunt elemente prime, atunci n=m li, schimband eventual eventual ordinea factorilor, avem =, unde sunt elemente inversabile, i=1, . ,n.

Demonstratie. Vom face o inductie dupa numarul minim al factorilor din cele doua descompuneri. Vom presupune, de exemplu, ca nm. Atunci, pentru n=1 avem si deoarece este ireductibil rezulta ca este asociat cu unul dintre jm.Putem presupune ca acela este . Atunci produsul si deci toti jm, ar fi elemente inversabile ale linelului A, ceea ce nu este posibil. Deci m=1 si afirmatia este dovedita in acest caz . Presupuneam afirmatia devedita pentru orice doua descompuneri in care una are mai putin de n factori.

Atunci , in descompunerea (a) de mai sus, din faptul ca este element prin rezulta ca divide cel putin unul dintre jm.Putem presupune ca si deoarece este ireductibil, rezulta ca . Deci u, unde u este element inversabil in A. Deci din (1) obtinem, simplificand cu

Deoarece este element prim , rezulta ca avem aici doua descompuneri ale elementului a' in produs de elemente prime si, din ipoteza inductiva, rezulta n-1=m-1, deci n=m, iar dupa o eventual renumerotare in-1 si cu aceasta totul este demonstrat.

Daca A este un inel factorial , atunci luand din fiecare clasa de elemente asociate prime cate un reprezentant, obtinem o multime de elemente prime, astfel incat orice element a din A, a0 se scrie sub forma:

Cu , i ,numere intregi nenegative si numai un numar finit sunt nenule, iar u un element inversabil in A. Unicitatea descompunerii se exprima atunci prin faptul ca daca

Este o alta scriere a lui a sub forma

, atunci u=u' si =, i .

Teorema 4.3. Fie A un inel integru. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)       A este inel factorial.

b)       Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si orice element ireductibil este prim.

c)       Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si doua astfel de descompuneri sunt unice in afara de ordinea factorilor si de asociere.

d)       Orice element nenul si neinversabil din A se descompune in produs finit de elemente ireductibile si orice doua elemente din A au un cel mai mare divizor comun.

Demonstratie. Fie a un element ireductibil din inelul A. Atunci din faptul ca el este produs de elemente prime rezulta ca se divide cu un element prim p. Dar p fiind neinversabil, este asciat cu a.

Revenind la demonstratia teoremei, se observa ca din a) si b) rezulta c). Pentru a arata ca c) b) este suficient sa observam ca din c) rezulta ca orice element ireductibil din A este prim. Fie q un element ireductibil si sa presupunem ca q|ab. Atunci:

ab=qq'.

Considerand descompuneri ale lui a ,b si q' in factori ireductibili si utilizand unicitatea descompunerii in factori ireductibili din relatia (3), rezulta q|ab.

Pana acum am aratat ca a),b) si c) sunt echivalente. Din propozitia 1.15 rezulta ca d) b). Este suficient sa observam urmatoarea lema.

Lema 4.5. Intr-un inel factorial orice doua elemente au cel mai mare divizor comun.

Demonstratie. Fie a si b doua elemente din inel factorial A. In cazul in care unul dintre ele este nul , afirmatia este evidenta. Putem deci presupune ca a si b sunt nenule si fie , i, un sistem de reprezentanti de elemente prime . Atunci fie

Descompunerile lui a si b in produs de elemente prime si

unde r=min(),i. Atunci este clar ca d este divizor comun al lui a si b si daca d' este divizor comun al elementelor a si b,

atunci din faptul ca d' divide pe a rezulta , i, iar din faptul ca d' divide pe b rezulta n, i. Deci i, de unde obtinem ca d' divide pe d. Asadar, d este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b si lema este demonstrata.

Din lema de mai sus rezulta ca intr-un inel factorial exista si cel mai mic multiplu a doua elemente daca se tine seama de propozitia 1.9. Se poate insa vedea imediat, cu notatiile din lema precedenta, ca elementul

Unde = max() este cel mai mic multiplu comun al elementelor a si b.

Propozitia 4.6. Fie A un inel factorial si a, , i=1,,s. Daca (a, )=1, pentru i=1,,s, atunci

Demonstratie. Va fi suficient sa aratam ca nu exista niciun element prim in A care sa divida pe a si pe . Fie p un astfel de element prim. Atunci rezulta ca exista un j, 1js, astfel incat p sa divida pe , ceea ce contrazice ipoteza.

Sa observam ca, deoarece in inelele factoriale orice element ireductibil este prim, rezulta ca inelul nu este factorial. Se poate insa arata cu usurinta, prin inductie dupa norma elementelor ca orice element nenul si neinversabil din acest inel este produs de elemente ireductibile, incat aceasta conditie nu este suficienta ca un inel sa fie factorial. Iata un exemplu de doua descompuneri dinstincte in produs de elemente ireductibile ale elementului 21 in inelul

Pentru inelele factoriale avem insa urmatoarea teorema.

Teorema 4.7. Daca A este un inel factorial, atunci este un inel factorial.

Pentru demonstrarea acestei teoreme avem nevoie de cateva pregatiri.

Daca A este inel integru si inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficientii in A , atunci, dupa cum stim, este inel integru, iar elementele inversabile din sunt cele din A si numai ele. De aici rezulta ca doua polinoame din sunt asociate daca si numai daca se obtin unul din celalalt prin inmultire cu un element inversabil din A. Un element a divide un polinom din daca si numai daca toti coeficientii polinomului se divid cu a.

Lema 4.8. Fie A un inel integru si p un element prim in A. Atunci p este element prim si in inelul

Demonstratie. Avem p0 si p neinversabil in . Fie p|fg cu f, g. Va trebui sa aratam ca p divide pe f sau pe g. Sa presupunem ca p nu divide nici pe f nici pe g si aratam ca atunci p nu divide nici produsul fg. Fie

Deoarece p nu divide pe f, rezulta ca exista ,0im, care nu se divide cu p. Fie coeficientul lui f cu k, pentru care nu se divide cu p. Analog, pentru g exista ,0lm,, cu l minim, pentru care nu se divide cu p. Atunci coeficientul al produsului fg este egal cu

si se observa ca nu se divide cu p(caci p este prim in A), iar prima suma se divide cu p, caci fiecare termen contine un cu i <k sau cu j<l sau suma este zero. Asadar p nu divide pe si nici pe fg.

Fie A un inel integru si f. Se spune ca f este un polinom primitiv daca coeficientii lui f nu se divid cu acelasi element prin din A. Daca A este inel factorial, se noteaza cu c(f) cel mai mare divizor comun al coeficientilor lui f care exista dupa cum rezulta din lema 4.5 (c(f) se numeste continutul polinomului f). Polinomul f va fi primitiv daca si numai daca c(f)=1. Evident, orice polinom f se scrie sub forma f= c(f)f', unde f' este un polinom primitiv.

Lema 4.9. Daca A este un inel factorial si f,g sunt doua polinoame in , atunci c(fg) este asociat cu c(f)c(g). In particular, produsul a doua polinoame primitive  este polinom primitiv.

Demonstratie. Fie f= c(f)f' si g= c(g)g'. Atunci fg= c(f)c(g)f'g' si este suficient sa demonstram doar partea a doua a lemei. Fie f si g polinoame primitive. Daca produsul f ar fi polinom primitiv, ar exista un element prim p din A care sa divida produsul fg. Atunci, conform lemei precedente, rezulta ca p divide pe f sau p divide pe g, absurd.

Lema 4.10. Fie A un inel factorial, a a0, g, cu polinom primitiv. Daca g divide produsul af, atunci g divide pe f. In particular, daca pentru doua polinoame primitive f,g din avem relatia ag=bf cu a,b, b0, atunci f si g sunt asociate.

Demonstratie. Din faptul ca g divide produsul af rezulta ca exista g' astfel ca af=gg'. Aplicand lema precedenta, obtinem ca ac(f)=c(g') (deoarece c(g)=1), de unde rezulta afirmatia lemei.

Lema 4.11. Fie A un inel factorial si f cu grad f1. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)       f este ireductibil in ;

b)       f este primitiv si ireductibil in , unde K este corpul de fractii al lui A.

Demonstratie. a) b). Daca f este ireductibil in , atunci f este polinom primitiv. Sa presupunem ca f ar fi ireductibil in . Atunci ar exista, o descompunere a lui f de forma f=gh, cu 1grad g<grad f, g,h , de unde inmultind cu un element convenabil aA, a0 (a poate fi luat egal cu produsul tuturor numitorilor coeficientilor polinoamelor g si h, obtinem in o relatie de forma af=g'h', cu grad g'=grad g si grad h'=grad h. Fie g'=c(g')g. Atunci rezulta ca g'' divide pe f in (lema 4.10) si deoarece grad g=grad g, rezulta ca f este reductibil in impotriva ipotezei.

Implicatia b) a) este evidenta.

Lema 4.12. Daca A este un inel factorial orice polinom ireductibil din este prim.

Demonstratie. Fie f un polinom ireductibil din. Daca grad f=o, atunci f este element ireductibil in A, deci prim in A si deci prim si in , conform lemei 4.8. Daca grad f>0, atunci rezulta ca f este polinom primitiv si sa presupunem ca f divide produsul gh. Din lema precedenta rezulta ca f este element prim in , deci f divide in unul dintre polinoamele g sau h. S a presupunem ca f|g. Deci g=ff', unde f' . Atunci exista aA, a0, astfel incat af'. Rezulta ca f divide pea g in si din lema 4.10 deducem ca f divide pe g in .

Ne intoarcem sa demonstram teorema 4.6 Vom verifica conditia b) din teorema 4.3. Pentru aceasta, conform lemei precedente, va fi suficient sa aratam ca orice element neinversabil si nenul din , este produs finit de polinoame ireductibile. Daca f este polinom de grad zero  neinversabil, atunci el este produs finit de elemente prime in A care sunt prime deci si ireductibile in conform lemei 4.8. Daca grad f>1, f se scrie sub forma f=c'(f)f', unde f' este un polinom primitiv, si este suficient sa demonstram afirmatia pentru polinoamele primitive. Deci daca f este primitiv si ireductibil, afirmatia este evidenta. In caz contrat f=gh, unde g si h sunt polinoame de grad strict mai mic decat cel al lui f si din ipoteza inductiva rezulta afirmatia.

Din teorema demonstrata rezulta:

Corolarul 4.13. Daca A este inel factorial, atunci , inelul polinoamelor de n nedeterminate cu coeficientii in A , este factorial. In particular, orice inel de polinoame de n nedeterminate cu coeficienti intr-un corp este inel factorial.

Din teorema 4.7 si teorema 4.3 rezulta ca pentru inelul factorial A in innelul exista cel mai mare divizor comun a doua elemente. Insa putem sa observam ca propozitia 3.4 nu mai ramane in general valabila. Astfel in inelul idealul generat de 2 si X, adica idealul 2+X este diferit de ( v. demonstratia propozitiei 3.3.), insa 1 este evident cel mai mare divizor comun al lui 2 si X.

Cu ajutorul rezultatelor de mai sus vom demonstra doua criterii de ireductibilitate a polinoamelor de o nedeterminata, cu coeficienti intr-un corp.

Propozitia 4.14. (Criteriul lui Eisenstien). Fie A un inel factorial, K corpul sau de fractii, un polinom de grad n>1 din si p un element prim in A cu proprietatile: mod p, mod p pentru i <n  si mod p. Atunci f este polinom ireductibil in , si deci si in daca este primitiv.

Demonstratie. Putem presupune ca f este polinom primitiv. Atunci daca f este ireductibil in, el este reductibil in . Fie f=gh, g, h

Unde , ,,. Din si mod pentru p rezulta ca unul si numai unul dintre elementele si se divide cu p. Presupunem ca mod p si mod p. Intrucat mod p , nu toti coeficientii lui g se divid cu p. Deci exista un indice I minim, cu proprietatea ca nu se divide cu p. Atunci nu se divide cu p, ceea ce contrazice ipoteza.

Propozitia 4.15. Fie u:AB un morfism de inele integre cu A inel factorial, K corpul de fractii al lui A si L corpul de fractii al lui B. Notam cu u' morfismul , cu proprietatea ca u'(X)=(X) si care extinde pe u. Atunci daca f este astfel incat u'(f) este ireductibil in iar grad f= u'(f), rezulta ca f este ireductibil in.

Demonstratie. Putem presupune ca f este primitiv . Atunci, daca presupunem ca f este reductibil in , el este reductibil si in . Fie f=gh, cu grad g1, grad h1. Atunci u'(f) =u'(g) u'(h) si rezulta grad u'(g)= grad g, iar grad u'(h)=grad h, ceea ce contrazice faptul ca u'(f) este ireductibil,